Funktionsuntersuchungen: Zusammengesetzte Funktionen f + g, f – g, f * g und f / g

Question

kann mir jemand bei den folgenden Aufgaben helfen?:/

Gegeben sind diese zwei Funktionen: 

f: x → \( x^{3} \) + \( x^{2} \) - 4x -4

g: x → x - 2

a) Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen f + g, f – g, f * g und \( \frac{f}{g} \)  an.

b) Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:

(f + g) (0)

(f - g) (1)

(f * g) (1/2)

(\( \frac{f}{g} \)) ( -1)

c) Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln (gegebenenfalls nach vorheriger Vereinfachung)

(f + g)’

(f - g)’

(f * g)’

(\( \frac{f}{g} \))’

d) Welche Steigung hat die Tangente:

– bei der Summenfunktion f + g an der Stelle x0 = 1?
– bei der Differenzenfunktion f – g an der Stelle x0 = 0?
– bei der Produktfunktion f g an der Stelle x0 = – 1?
– bei der Quotientenfunktion f an der Stelle x0 = 3 ?

Meine ''Lösung'': 

Bei a) Ich setze einfach beide Funktion in eine Gleichung, also wenn es f + g ist dann wäre es:

\( x^{3} \) + \( x^{2} \) - 4x -4  +  x - 2 

Ist das so gemeint?

Zu b) Muss ich da ausklammern um den Funktionswert rauszubekommen?

Zu c) Hier muss ich wahrscheinlich ausklammern und dann ableiten...

Zu d) Wie gehe ich hier vor?

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen, da ich schon selbst zweifle an dieser Aufgabe. :/

Comments

Bitte Duplikate vermeiden. V.a. weil hier https://www.mathelounge.de/697736/ableiten-funktionen-in-der-analysis-bsp-x-3-x-2-4x-4-x-2 aus versehen (Klammern vergessen) auch andere Teilaufgaben entstanden sind.

Answer 1

$$ f: x \mapsto x^3 + x^2- 4x -4 ~~~;~~~g: x \mapsto x - 2$$

a)

\(f+g\) hast du richtig; \(f-g\) geht entsprechend.

$$ f*g: x \mapsto (x^3 + x^2- 4x -4)\cdot(x - 2)$$

Falls die verkettete Funktion gemeint ist:

$$ f\circ g: x\mapsto (x-2)^3+(x-2)^2-4(x-2)-4 $$

$$ \frac{f}{g}: x \mapsto \frac{x^3 + x^2- 4x -4}{x-2}$$

b) Einfach die x-Werte in die vier Funktionen einsetzen.

Hier am Beispiel \(f*g\):

$$ f*g(0,5)=(0,5^3 + 0,5^2- 4\cdot0,5 -4)\cdot(0,5 - 2)$$

Falls die Verkettung gemeint ist \(f\circ g\):

$$ f\circ g(0,5)= (0,5-2)^3+(0,5-2)^2-4(0,5-2)-4 $$

c) Die vier Funktionen ableiten. Eventuell musst du erst ausmultiplizieren.

d) Die gegebenen x-Werte jeweils in die Ableitungen einsetzen, ausrechnen.

Comments

Hallo Monty,

vermutlich handelt es sich bei der dritten Operation nur um das schnöde Produkt beider Funktionen und nicht um deren Verkettung.

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@abakus

Daran hatte ich nicht gedacht. Wahrscheinlich hast du recht.

Ich habe meine Antwort entsprechend ergänzt.

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Vielen Dank!