Aloha :)
Das allgemeine Zerfallsgesetz lautet \(N(t)=N_0e^{-\lambda\,t}\). Du sollst aus der Angabe der Halbwertszeit \(T=3,5\) Jahre die Konstante \(\lambda\) bestimmen. Nach der Halbwertszeit \(T\) ist nur noch die Hälfte der Radioaktivität vorhanden:
$$\left.\frac{1}{2}N_0=N_0e^{-\lambda\,T}\quad\right|\;:N_0$$$$\left.\frac{1}{2}=e^{-\lambda\,T}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\lambda\,T\quad\right|\;\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(1)-\ln(2)=-\ln(2)$$$$\left.-\ln(2)=-\lambda\,T\quad\right|\;:(-T)$$$$\left.\boxed{\lambda=\frac{\ln(2)}{T}}\quad\right.$$Hier ist \(\lambda=\frac{\ln(2)}{3,5}\approx0,1980\) und das Zerfallsgesetz lautet:$$N(t)=N_0e^{-0,1980\,t}$$Nun soll die Zeit \(t\) bestimmt werden, bei der die Konzentration um \(90\%\) abgenommen hat:
$$\left.0,1\,N_0=N_0e^{-0,1980\,t}\quad\right|\;:N_0$$$$\left.0,1=e^{-0,1980\,t}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(0,1)=-0,1980\,t\quad\right|\;:(-0,1980)$$$$\left.t=\frac{\ln(0,1)}{-0,1980}\approx 11,6\;\text{ Jahre}\quad\right.$$
