$$| z- \frac{1}{3} i |=| z - Re(z)| $$
Setze z = a+bi , dann ist Re(z) = a und rechts bleibt | bi|
Also
$$| a + bi - \frac{1}{3} i |=| bi| $$
$$| a + (b - \frac{1}{3} ) i |=| bi| $$
Beträge von x+yi sind immer Wurzel(x^2 + y^2 ) also nach Quadrieren
$$ a^2 + (b - \frac{1}{3} ) ^2 = b^2 $$
$$ a^2 + b^2 - \frac{2}{3}b +\frac{1}{9} = b^2 $$
$$ a^2 - \frac{2}{3}b +\frac{1}{9} = 0 $$
$$ \frac{3}{2}a^2 - \frac{1}{6} = b $$
Also sind das alle Punkte, die auf der Parabel liegen mit
$$ y=\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6} $$