Wie kann ich den Term bestimmen?

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie den Term einer quadratischen Funktion, deren Graph durch die Punkte A, B und C geht.

a) A(-2|-7), B(2|1), C(7|-4)

b) A(-4|1), B(-1|-1/8), C(6|6)

Answer 1

Ansatz

f(x) = ax^2 + bx + c

Nutze

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

a)

b)

Answer 2

a) f(x)=ax²+bx+c

Finde die 3 Unbekannten a,b,c durch Ausnutzung von 3 Informationen:

A(-2|-7): f(-2)=-7=a(-2)²+b(-2)+c

f(2)=1=4a+2b+c

f(7)=-4=49a+7b+c

a=-1/3, b=2, c=-5/3

f(x) = (-1/3)x²+2x-5/3

b) analog

Answer 3

b) A(-4|1), B(-1|-1/8), C(6|6)

$$ y=ax^2+bx+c $$

----------------------------------

$$ ~~~~~~~~~~~1=16a-4b+c $$

$$-0,125=~~~a~~~-b~+c ~~~\Rightarrow ~~~0,125=~~-a~~~+b~-c $$

$$ ~~~~~~~~~~~6=36a+6b+c$$

----------------------------------

c eliminieren

1,125 =15a-3b → 7*1,125 =105a-21b

6,125=35a+7b → 3*6,125=105a+21b

------------------------------------

26,25=210a

\(a=\dfrac{2625}{21000}=\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{9}{8}=\dfrac{15}{8}-3b \Rightarrow b=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{-1}{8}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+c \Rightarrow c=0\)

$$ y=\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{4}x$$

https://www.desmos.com/calculator/lmpkeapiyd

Answer 4

Aloha :)

a) Wir haben die Punkte \((-2|-7), (2|1), (7|-4)\). Wir wählen den Ansatz$$p(x)=A_0+A_1(x+2)+A_2(x+2)(x-2)$$und setzen die Punkte ein:$$-7=p(-2)=A_0$$$$p(x)=-7+A_1(x+2)+A_2(x+2)(x-2)$$$$1=p(2)=-7+4A_1\;\;\Rightarrow\quad4A_1=8\;\;\Rightarrow\;\; A_1=2$$$$p(x)=-3+2x+A_2(x+2)(x-2)$$$$-4=p(7)=11+45A_2\;\;\Rightarrow\;\;45A_2=-15\;\;\Rightarrow\;\;A_2=-\frac{1}{3}$$$$p(x)=-3+2x+-\frac{1}{3}(x^2-4)$$$$\underline{p(x)=-\frac{x^2}{3}+2x-\frac{5}{3}}$$

b) Wir haben die Punkte \((-4|1), (-1|-\frac{1}{8}), (6|6)\). Als Ansatz wählen wir:$$p(x)=A_0+A_1(x+4)+A_2(x+4)(x-6)$$und setzen wieder die Punkte ein:$$1=p(-4)=A_0$$$$p(x)=1+A_1(x+4)+A_2(x+4)(x-6)$$$$6=p(6)=1+10A_1\;\;\Rightarrow\;\;10A_1=5\;\;\Rightarrow\;\;A_1=\frac{1}{2}$$$$p(x)=3+\frac{x}{2}+A_2(x+4)(x-6)$$$$-\frac{1}{8}=p(-1)=\frac{5}{2}-21A_2\;\;\Rightarrow\;\;21A_2=\frac{21}{8}\;\;\Rightarrow\;\;A_2=\frac{1}{8}$$$$p(x)=3+\frac{x}{2}+\frac{1}{8}(x^2-2x-24)$$$$\underline{p(x)=\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}}$$