Bestimmen Sie einen Punkt C so dass Vektor AB und Vektor AC orthogonal zueinander sind.
A(2| -1 | 1) und B(0|2|-3)
$$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 0-2\\2-(-1)\\-3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} x-2\\y-(-1)\\z-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2\\y+1\\z-1 \end{pmatrix}$$
$$ \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} x-2\\y+1\\z-1 \end{pmatrix} = -2(x-2)+3(y+1)-4(z-1) =-2x+3y-4z+11=0$$
Zwei Zahlen sinnvoll wählen:
$$ x=0; y=-1 \Rightarrow z=2 ~~\Rightarrow C(0|-1|2)$$
Probe:
$$ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 0-2\\-1-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}$$
$$ \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} =4+0-4=0 $$
Alternative Lösung:
Der Punkt C liegt in der Ebene E mit dem Normalenvektor \(\overrightarrow{AB}\). Die Punkt-Normalenform der Ebene liefert die gesuchte Gleichung.
\(E:~~~\begin{pmatrix} -2\\3\\ -4 \end{pmatrix} \circ\vec x=\begin{pmatrix} -2\\3\\ -4 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} 2\\-1\\ 1 \end{pmatrix} = -11 \) bzw. \(-2x+2y-4z=-11\) erfüllen.
