Beweisen Sie Kreuzprodukt + Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass:

(\( \vec{a} \) x \( \vec{b} \))² + (\( \vec{a} \)·\( \vec{b} \))² = \( \vec{a} \)² \( \vec{b} \)²

Mit:  \( \vec{a} \)² = \( \vec{a} \)·\( \vec{a} \) = Ι\( \vec{a} \)Ι²

^{Habe leider gar keinen Ansatz und finde dazu auch nichts.}

Answer 1

Aloha :)

Wenn nichts weiter bekannt ist, würde ich das einfach kurz durchrechnen:$$\phantom{=}(\vec a\times\vec b)^2+(\vec a\cdot \vec b)^2=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}^2+(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$$$$=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$$$$=a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2-2a_2a_3b_2b_3+a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2-2a_1a_3b_1b_3+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2$$$$+\,a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2 a_1a_2b_1b_2+2a_1a_3b_1b_3+2a_2a_3b_2 b_3$$$$=a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2$$$$=(a_1^2b_3^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_1^2)+(a_2^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)   +(a_3^2b_2^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_3^2)$$$$=a_1^2(b_3^2+b_2^2+b_1^2)+a_2^2(b_3^2+b_1^2+b_2^2)  +a_3^2(b_2^2+b_1^2+b_3^2)$$$$=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_3^2+b_2^2+b_1^2)$$$$=\vec a\,^2\,\vec b\,^2=a^2\,b^2$$

Comments

vielen Dank!

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Gratulation,

das hätte ich auch so gemacht, war aber zu faul.

Aber warum steht in der 2. Zeile plötzlich ein Minus vor der letzten Klammer?

In der 4. Zeile ist es dann plötzlich wieder verschwunden.

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Danke Hogar, da habe ich mich beim Copy-Pasten vermutlich vertan... Habe es korrigiert.

Answer 2

Ist \( |\vec{a} \) x \( \vec{b}|= |\vec{a}|* |\vec{b}|*sin\angle(\vec{a},\vec{b})\) bekannt?
Ist eine entsprechende Formel für \( |\vec{a}  \cdot \vec{b}|\) bekannt?

Comments

Nein, es wurde nichts weiter angeben.

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Es geht nicht darum, was in der Aufgabe angegeben war, sondern um Dinge, die seit Klasse 11 oder spätestens 12 bekannt sein sollten.

 \( |\vec{a} \) x \( \vec{b}|= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot sin\angle(\vec{a},\vec{b})\) beschreibt die Größe des von den Vektoren ausgespannten Parallelogramms.

 \( |\vec{a} \cdot \vec{b}|= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\angle(\vec{a},\vec{b})\)  ist die Definition des Skalarprodukts. Mit diesen Grundlagen und dem Wissen dass
sin²φ + cos²φ = 1 gilt ist der Nachweis ein Zweizeiler.

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Abakus, ich habe das damals, vor 35 Jahren in der Oberstufe noch gelernt. Wir schreiben aber das Jahr 2021. Wegen Corona-Ausfällen, Friday-for-future, G8 und allgemeiner Absenkung des Lernniveaus zur Vereinheitlichung solltest du das heute nicht mehr erwarten.

Die Schüler können da nichts für. Es sind die Vorgaben aus den Ministerien, die gesellschaftlichen Rahmenbedingungen und die Qualität des Lehrkörpers die Schuld daran sind.

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Hallo Tschaka,

"das hatten wir nicht" ist aber auch eine der häufigsten Schutzbehauptung von Schülern, die das zwar doch hatten, aber damals mangels Interesse oder mangels kognitiver Fähigkeiten von vorn herein nicht verinnerlichten.

Ganz selten ist jemand so ehrlich, dass er/sie mit "ach so, ja, jetzt wo du es sagst" eingesteht, dass da wohl doch etwas in der Richtung "mal war".