Lösungsschema zu einem bestimmten Aufgabentyp

Question

Ich habe momentan ein mehr oder weniger großes Problem beim Lösen von Aufgaben der Art, welcher ich angehangen habe.

Mir ist klar, dass auf jeden Fall eine Inverse existiert wenn das n in Zn eine Primzahl ist, da dann ein Körper Zn existiert.

Jedoch wird mir nicht klar, wie man vorzugehen hat, wenn es eben kein Körper ist und demnach die Existenz einer Inversen unklar ist, wie bei den Teilaufgaben b) und c), denn da sind jeweils die n keine Primzahlen und man kann nicht ohne weiteres die Inverse bestimmen.

Falls einer von Euch mir erklären könnte, wie man im Allgemeinen, an so eine Aufgabenstellung rangeht, bin ich Euch tierisch dankbar.

Liebe Grüße

(b) Bestimmen Sie alle Lösungen \( x \in \mathbb{Z} \) der folgenden Kongruenzen:
(i) \( \quad 5 x \equiv 7 \bmod 13 \)
(ii) \( \quad 5 x \equiv 7 \bmod 26 \)
(iii) \( 21 x \equiv 9 \bmod 219 \)

Answer 1

5*4=20=1*13+7

5*17=85=6*13+7=3*26+7

5*30=150=11*13+7

5*43=215=16*13+7=8*26+7

usw.

5x endet mit 0 oder 5. Damit bei der Division durch z der Rest 7 heraus kommt, muss das Vielfache von z mit 3 oder 8 enden.

iii)

21x=9+219k    (x und k sind ganze Zahlen)

Durch 3 dividieren:

7x=3+73k

k	-1	-1+7=6	6+7=13
3+73k	-70	441	952
x=(3+73k)/7	-10	63	136

Comments

Hi,

Mir ging es nicht um die Lösung davon, sondern wie man hier am besten vorzugehen hat.

Könntest du mir das erklären

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Ich taste mich auch erst an die Lösung heran. :-)

Answer 2

Hallo

 meistens geht das mit scharfem Hinsehen, weil die aufgaben so gestellt sind.

a) kannst du sicher x=4

b. man sieht direkt  5*5*-1mod 26 also muss man mit x= -5*7 =-35=-9 =17 mod 26

c) entsprechend 21*10=-9*mod219 also mit x=-10 mod219