Bestimme Summe von Fakultät mittels Kongruenzarithmetik

Question

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem und bräuchte einen kleinen Denkanstoß um dort weiterzukommen.

Aufgabe:

$$1! + 2! + 3! + ... + 100! = \sum \limits_{n=1}^{100} j!\text{ (mod 25) }$$

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Comments

Sind nicht alle Summanden mit Index größer als 24 gleich Null?

Answer 1

Ab 10! lassen alle Summanden bei Division durch 25 den Rest 0. Davor liegen die 9 Reste 1, 2, 6, 24, 20, 20, 15, 20, 5 mit der Summe 113. Die Summe der ersten100 Fakultäten modulo 25 ist 13.

Comments

Danke für deine Hilfe!

Ist jetzt zwar schon ein bisschen länger her, aber woher weiß man, dass 10! durch 25 teilbar ist. Außer durch ausprobieren.

Gibt es eine Methode um zu sehen, dass 1 * 2 *... * 9 * 10 durch 25 teilbar ist?

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Ja, in 10! stecken die Faktoren 2·5·10=100 (und erst recht in11!, 12!, 13!, ...)