Analysis, beweisen, dass alle Elemente n in N vorhanden sind, Fakultät. Summe (3-k)3^{k-1}/k! = 3^n/n! - 1

Question

Ich soll zeigen, dass für alle n ∈ N gilt.

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(3-k) 3^{k-1}}{k !}=\frac{3^{n}}{n !}-1 \)

Aber ich hab Probleme mit der Induktion bzw. ich weiss nicht genau wie die Fakultät das beeinflusst. Da wir das noch nicht in der Uni besprochen haben.

Comments

Zum Vergleich https://www.mathelounge.de/506189/analysis-beweisen-reihe-konvergent-grenzwerte-bestimmen 

Answer 1

Für n=1 stimmt es ja.

Wenn du nun die Summe bis n+1 bildest, ist das die Summe bis n plus

den (n+1)-ten Summand, also 

( 3ⁿ/n!  - 1)   plus  (n+1)-ter Summand

=( 3ⁿ / n! - 1 )  +  (3-(n+1))*3ⁿ /(n+1)!

= 3ⁿ / n!   +  (2-n)*3ⁿ /(n+1)!   -  1   1. Bruch erweitern

= 3ⁿ(n+1) / (n+1)!   +  (2-n)*3ⁿ /(n+1)!   -  1   auf einen Bruchstrich

= 3ⁿ * ( n+1+2-n) / (n+1)!  - 1 

= 3ⁿ * 3 / (n+1)! - 1   also das gewünschte Ergebnis.

Comments

warum wird nich 3ⁿ⁺¹ genommen kannst du mir das bitte erklären ?

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Was genau ist dir nicht klar?

3^{n} * 3 / (n+1)! - 1

=  3^{n+1} / (n+1)! - 1

Answer 2

Hi, ich bezeichne den Term in der Summe mal mit T, da ich gerade am Handy.Beginne mit dem Induktionsschluss wie folgt:$$\sum_{k=1}^{n+1}T=\sum_{k=1}^{n}T+ \frac{(3-(n+1)) \cdot 3^n}{(n+1)!}=\frac{(3^n-n!) \cdot (n+1) + (3-(n+1)) \cdot 3^n}{(n+1)!}$$Nun den Zähler vereinfachen.

Answer 3

Tipp:

(3-k)*3^{k-1}/k!

=3^{k}/k! -3^{k-1}/(k-1)!

Das sieht stark nach einer Teleskopsumme aus!