Polynomfunktionen: Rückfrage zu f(x)=-5(x-2)²(x+7); x E R

Question

Tut mir leid, aber ich habe die Lösung leider nicht richtig verstanden.

Obige Aufgabe lautete u.a. In welchem Bereich gilt f(x)>0 bzw. f(x)<0?

Kann man die Lösung vielleicht etwas auführlicher für mich beschreiben?

Bedanke mich schon mal im Voraus.

Bernie

Comments

Welchen Teil von  " f(x)>0 für x<−7 " hast du denn nicht verstanden?

Answer 1

-5(x-2)²·(x+7)<0

Der Faktor -5(x-2)² ist immer negativ. Wenn x+7 positiv ist, gilt diese Ungleichung.

x+7>0

x>-7

Analog dazu kann man den Fall -5(x-2)²·(x+7)>0 lösen.

Comments

Der Faktor -5(x-2)² ist immer negativ.

Nein, dieser Faktor ist nicht immer negativ.

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ok, ok, 0 ist nicht negativ.

Answer 2

Sieh dir einmal die Kurve an. Es gibt zwei Nullstellen, an denen sich das Vorzeichen ändern kann.

Die Nullstellen liegen bei x=-7 und x=2. Dadurch entstehen drei Gebiete (Intervalle), nämlich x<-7; -7<x<2 und x>2.

Du musst nun untersuchen, welches Vorzeichen f(x) in jedem dieser Gebiete hat.

Dazu kannst du einen beliebigen x-Wert aus dem Gebiet einsetzen.

x<-7, also z.B. x=-8.  f(-8)=-5(-8-2)^2*(-8+7)=500>0

Für x<-7 gilt also f(x)>0. Das stimmt mit der Kurve überein.

Für die anderen beiden Intervalle kannst du es ja selbst probieren.

https://www.desmos.com/calculator/l2fge3uiym

[spoiler]

-7<x<2:

z.B. x=0 → f(0)=-140<0

x>2:

z.B. x=3 → f(3)=-50<0

Zusammenfassung:

x<-7 → f(x)>0

x=-7 → f(x)=0

-7<x<2 → f(x)<0

x=2 → f(x)=0

x>2 → f(x)<0

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