Aufgabe:
Sei \( \operatorname{Pol}(\mathbb{R}) \subset \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) der Raum der Polynomfunktionen und
\( \operatorname{Pol}_{n}(\mathbb{R})=\left\{f \in \operatorname{Pol}(\mathbb{R}): f(t)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} t^{k} \text { für } a_{0}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}\right\} \)
der Raum der Polynomfunktionen vom Grad höchstens \( n \in \mathbb{N}_{0} \).
Zeigen Sie:
(a) Ist \( t_{0} \) eine Nullstelle von \( f \in \operatorname{Pol}_{n+1}(\mathbb{R}) \), dann existiert \( g \in \operatorname{Pol}_{n}(\mathbb{R}) \) mit der Eigenschaft dass \( f(t)=\left(t-t_{0}\right) g(t) \) für alle \( t \in \mathbb{R} \).
Hinweis. Führen Sie dies durch eine geeignete Substitution auf den Fall \( t_{0}=0 \) zurück.
(b) Hat \( f \in \operatorname{Pol}_{n}(\mathbb{R}) \) mindestens \( n+1 \) paarweise verschiedene Nullstellen, dann gilt \( f=0 \). Hinweis. Vollständige Induktion nach \( n \in \mathbb{N}_{0} \).
(c) Die Monome \( f_{k}(t)=t^{k} \) für \( k \in \mathbb{N}_{0} \) sind linear unabhängig in \( \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \).
Schließen Sie, dass die Abbildung
\( \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad\left(a_{0}, \ldots, a_{n}\right) \mapsto f(t)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} t^{k} \)
injektiv ist für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \). Zeigen Sie, dass die entsprechende Aussage für endliche Körper im Allgemeinen nicht richtig ist.
