Betrag von x^i, i^x, (ix)^i, i^(ix)

Question

Ich habe hier eine Aufgabe mit Lösung, warum ist der Betrag hier e^("pi“/2) bzw. e^(-x“pi“/2)? Ich dachte der Betrag steht bei der polardarstellung vorne, also wäre hier immer 1.

\( \begin{aligned}\left|x^{\mathrm{i}}\right| &=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \log x}\right|=1, \\\left|\mathrm{i}^{x}\right| &=\left|\mathrm{e}^{x \ln \mathrm{i}}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x \frac{\pi}{2}}\right|=1, \\\left|(\mathrm{i} x)^{\mathrm{i}}\right| &=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \ln (\mathrm{i} x)}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\log x+\mathrm{i} \frac{\pi}{2}\right)}\right|=\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}, \\|\mathrm{i} x| &=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x \ln \mathrm{i}}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x \mathrm{i} \frac{\pi}{2}}\right|=\mathrm{e}^{-x \frac{\pi}{2}} \end{aligned} \)

Answer 1

\(\begin{aligned}\left|x^{\mathrm{i}}\right| &=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \log x}\right|=1  \\                    \left|(\mathrm{i} x)^{\mathrm{i}}\right| &=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \ln (\mathrm{i} x)}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\log x+\mathrm{i} \frac{\pi}{2}\right)}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\log x}\cdot e^{- \frac{\pi}{2}}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\log x}\right|\cdot \left|e^{- \frac{\pi}{2}}\right|=\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}} \\                          |\mathrm{i} x| &=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x \ln \mathrm{i}}\right|=\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x \mathrm{i} \frac{\pi}{2}}\right|=\mathrm{e}^{-x \frac{\pi}{2}} \end{aligned}\)

Die beiden letzten Ausdrücke enthalten im Exponenten mehrere i. Daher ist das noch nicht die Polarform.

Beim letzten Ausdruck wird \(\ln i= i\frac{\pi}{2}\) verwendet.