Regression polynomfunktion 3.grades

Question

Aufgabe:

a) Die durchschnittliche Körpermasse von Zwerghamstern wird bei der Geburt mit 1,2 g angegeben, nach 1 Woche mit 4,3 g, nach 2 Wochen mit 8,7 g, nach 3 Wochen mit 12,5 g und nach 4 Wochen mit 14,2 g.
Die zeitliche Entwicklung der durchschnittlichen Körpermasse von Zwerghamstern soll für die ersten 4 Lebenswochen näherungsweise durch eine Polynomfunktion 3. Grades f beschrieben werden.
1) Ermitteln Sie mithilfe von Regression eine Gleichung dieser Polynomfunktion 3. Grades f.
Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt der Geburt. 
Zur Zeit t1 gilt: f″(t1) = 0 und f′(t1) > 0

Problem/Ansatz:

lösung:f(t) = –0,28 ∙ t3 + 1,46 ∙ t2 + 1,95 ∙ t + 1,19 

Bitte um Hilfe, ich weiß überhaupt nicht wie man das rechnen soll

Answer 1

Es soll eine kubische Parabel bestimmt werden?
Was ist t1? t in Wochen?

\(\small fo(x) \, :=  \, a_3 \; x^{3} + a_2 \; x^{2} + a_1 \; x + a_0\)

Punkte einsetzen

\(\small   \, \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\1&1&1&1\\8&4&2&1\\27&9&3&1\\64&16&4&1\\\end{array}\right)   \, \left(\begin{array}{r}a_3\\a_2\\a_1\\a_0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{6}{5}\\\frac{43}{10}\\\frac{87}{10}\\\frac{25}{2}\\\frac{71}{5}\\\end{array}\right)\)

\(\small A^T A \; a_k = A^T b_d \)

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}4890&1300&354&100\\1300&354&100&30\\354&100&30&10\\100&30&10&5\\\end{array}\right)\; \left(\begin{array}{r}a_3\\a_2\\a_1\\a_0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\frac{6601}{5}\\\frac{1894}{5}\\116\\\frac{409}{10}\\\end{array}\right)   \)

\(\small a_k = \left(A^{T} \; A \right)^{-1} \; A^{T} \; b_a \)

\(\small   \left(\begin{array}{r}a_3\\a_2\\a_1\\a_0\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}\frac{5}{72}&-\frac{5}{12}&\frac{43}{72}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{12}&\frac{18}{7}&-\frac{325}{84}&\frac{9}{14}\\\frac{43}{72}&-\frac{325}{84}&\frac{3215}{504}&-\frac{125}{84}\\-\frac{1}{12}&\frac{9}{14}&-\frac{125}{84}&\frac{69}{70}\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}\frac{6601}{5}\\\frac{1894}{5}\\116\\\frac{409}{10}\\\end{array}\right)  \)

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{r}a_3\\a_2\\a_1\\a_0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-0.28333\\1.45714\\1.95476\\1.19429\\\end{array}\right) \right\} \)

Answer 2

Ansatz

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

Das Gleichungssystem

f(0) = 1.2 | d = 1.2
f(1) = 4.3 | a + b + c + d = 4.3
f(2) = 8.7 | 8·a + 4·b + 2·c + d = 8.7
f(3) = 12.5 | 27·a + 9·b + 3·c + d = 12.5
f(4) = 14.2 | 64·a + 16·b + 4·c + d = 14.2

In Matrizenschreibweise: A·x = b

[0, 0, 0, 1; 1, 1, 1, 1; 8, 4, 2, 1; 27, 9, 3, 1; 64, 16, 4, 1]·[a; b; c; d] = [1.2; 4.3; 8.7; 12.5; 14.2]

Normalengleichung: A^T·A·x = A^T·b

[0, 1, 8, 27, 64; 0, 1, 4, 9, 16; 0, 1, 2, 3, 4; 1, 1, 1, 1, 1]·[0, 0, 0, 1; 1, 1, 1, 1; 8, 4, 2, 1; 27, 9, 3, 1; 64, 16, 4, 1]·[a; b; c; d] = [0, 1, 8, 27, 64; 0, 1, 4, 9, 16; 0, 1, 2, 3, 4; 1, 1, 1, 1, 1]·[1.2; 4.3; 8.7; 12.5; 14.2]

[4890, 1300, 354, 100; 1300, 354, 100, 30; 354, 100, 30, 10; 100, 30, 10, 5]·[a; b; c; d] = [1320.2; 378.8; 116; 40.9]

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt hier

a = - 17/60 ∧ b = 51/35 ∧ c = 821/420 ∧ d = 209/175
a = -0.2833 ∧ b = 1.4571 ∧ c = 1.9548 ∧ d = 1.1943

Damit lautet das Ausgleichspolynom

f(x) = - 17/60·x^3 + 51/35·x^2 + 821/420·x + 209/175

Comments

Dankeschön, aber bei dem Gleichungssystem kommt bei mir im taschenrechner leider keine Lösung raus

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Da ich nicht weiß was du in den Taschenrechner eingegeben hast kann ich dir auch nicht sagen wo dein Fehler liegt.

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d = 1.2
a + b + c + d = 4.3
8·a + 4·b + 2·c + d = 8.7
27·a + 9·b + 3·c + d = 12.5
64·a + 16·b + 4·c + d = 14.2

genau das was du geschrieben hast

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Du musst das Gleichungssystem

[4890, 1300, 354, 100; 1300, 354, 100, 30; 354, 100, 30, 10; 100, 30, 10, 5]·[a; b; c; d] = [1320.2; 378.8; 116; 40.9]

eingeben also

4890·a + 1300·b + 354·c + 100·d = 1320.2
1300·a + 354·b + 100·c + 30·d = 378.8
354·a + 100·b + 30·c + 10·d = 116
100·a + 30·b + 10·c + 5·d = 40.9

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Wie kommst du auf diese Zahlen?

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Du multiplizierst das Gleichungssystem was du hattest mit der transponierten Matrix

A·x = b

A^T·A·x = A^T·b

Das ist das Gleichungssystem was du lösen musst.

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Was genau multipliziert du, tut mir leid aber ich versteh null

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Verstehst du noch die folgenden Zeilen:

A·x = b

[0, 0, 0, 1; 1, 1, 1, 1; 8, 4, 2, 1; 27, 9, 3, 1; 64, 16, 4, 1]·[a; b; c; d] = [1.2; 4.3; 8.7; 12.5; 14.2]

Schreibe dir die Matrix auch wirklich mal als Matrix auf und nicht in einer Zeile wie ich es geschrieben habe.

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Nein leider nicht, ich hatte es in Unterricht gar nicht durchgemacht

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Mit was für einem Taschenrechner arbeitet ihr? Ist das ein CAS? Kann der vielleicht von Haus aus eine Regression machen?

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Ti nspire cx cas

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Ja da steht auch kubische regression

da steht

X-Liste:

Y-Liste

Häufigkeitsliste::

Kategorie:

Ich habe leider keine Ahnung, aber ja danke für deine Hilfe, ich werde mein lehrer mal fragen, wahrscheinlich machen wir es noch durch

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Ti nspire cx cas

Der Taschenrechner kann direkt die kubische Regression berechnen.

Schau mal unter

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ah ich habs schön,bei meinen Taschen rechner müsste man nur 2 Listen angeben

also (0,1,2,3,4) und die gramm liste (1.2,4.3,8. 7,14.2) und dann kam die kubische regression raus aber danke für die hilfe

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Genau. Man gibt nur die Wertetabelle an und gibt an mit welcher Funktion der Rechner eine Regression machen soll. Man selber braucht dann nichts machen und auch nix verstehen.