Linear logarithmische Regression

Question

Hi zusammen,

kann mir jemand bei der linearen logarithmischen Regression helfen nach der Formel : a+b * log(a) = log(y)

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Jahr & BIPreal & Wachstum & Jahr & BIPreal & Wachstum \\
\hline 2002 & \( 2.192,15 \) & & 2007 & \( 2.382,11 \) & \( 3,27 \% \) \\
\hline 2003 & \( 2.183,92 \) & \( -0,38 \% \) & 2008 & \( 2.407,91 \) & \( 1,08 \% \) \\
\hline 2004 & \( 2.209,27 \) & \( 1,16 \% \) & 2009 & \( 2.284,46 \) & \( -5,13 \% \) \\
\hline 2005 & \( 2.224,40 \) & \( 0,68 \% \) & 2010 & \( 2.368,76 \) & \( 3,69 \% \) \\
\hline 2006 & \( 2.306,70 \) & \( 3,70 \% \) & 2011 & \( 2.439,05 \) & \( 2,97 \% \) \\
\hline
\end{tabular}

Ich habe diese Werte vorliegen und auch schon alle Jahreszahlen (1,2,3,...,10) logarithmiert und bin bis jetzt bei der Gleichung:

y(x) = 7,811017 + 0,047x

Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie man das rücktransformiert nach der Formel y = a * x^b.

Beim halblogarithmischen Ansatz macht man ja einfach e^a und hat dann den Wert für die endgültige Formel.

Beim logarithmischen Ansatz fällt mir das allerdings nicht so einfach.

Falls mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Liebe Grüße

Answer 1

y(x) = 7,811017 + 0,047x

Was hast Du dafür denn gerechnet? Das ist nicht klar.

Du willst doch die Gleichung a+b * log(x) = log(y) (Tippfehler korrigiert) verwenden, mit x als Jahreszahl und y als BIP (ich spekuliere hier, weil Du diese Angaben nicht machst).

Dazu musst Du die x- und die y- Werte logarithmieren (mit ln) und damit eine Regressionsgerade bestimmen. Vielleicht ist das die oben genannte, hab nicht nachgerechnet, auf jeden Fall gehören da nicht die Variablen x und y rein. Wenn Du alles richtig gemacht hast (wie gesagt, Du verschweigst, was Du gerechnet hast), dann wäre das die Gleichung \(\ln y(x) = 7.811017 + 0.047\ln x\).

Darauf dann die e-Funktion anwenden gibt die gesuchte Exponentialfunktion \(y(x)=...\), fertig.

Comments

Hi, grüß dich

Ich habe das jetzt nochmal nach deinem Verfahren gerechnet und bin auf die Gleichung lny(x) = 7,611 + 0,085467ln(x) gekommen.

Kannst du mir erklären, wie ich das jetzt rücktransformiere?

Muss ich die e funktion einfach nur auf die 0,085467 anwenden?

Liebe Grüße und Vielen Dank im Voraus

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e-Funktion auf die ganze Gleichung anwenden, also auf beiden Seiten. Auf der rechten Seite Potenzrechenregeln beachten.

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y = e^(7,611+0,085467x)?

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Nein, wo ist das ln rechts geblieben? Nach Korrektur dann endlich die PRR anwenden.

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Könntest du mir eventuell die Lösung schreiben, da ich ehrlich gesagt nicht drauf komme

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Der nächste Schritt ist \(e^{linke\ Seite}=e^{rechte\ Seite}\) hinzuschreiben, das ist eine reine Schreibübung. Daran bist Du bis jetzt gescheitert. Ich verstehe nicht, was daran so schwierig ist.

Answer 2

Von vorne:

\({y=a_0\; x^{a_1} \to \ln(y)=\ln(a_0\; x^{a_1}) \to \ln(y)=\ln(a_0) +a_1\; \ln(x)}\)

\(Substitute:\; a_2 = \ln\left(a_0 \right), x = \ln\left(x \right), y = \ln\left(y \right) \)

\(y=f(x)=a_1 \; x + a_2\)

Rechnung hast Du ja annähernd ===>

\(\left(\begin{array}{r}a_1\\a_2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0.04727\\7.66844\\\end{array}\right)\)

\(Substitute:\, a_2 = \ln\left(a_0 \right) \to \ln\left(a_0 \right) = 7.66844 \to \\\left(\begin{array}{r}a_1\\a_0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0.04727\\2139.74454\\\end{array}\right) \)

Comments

Und dann wäre die Gleichung y=2139,74454 * x^b ?

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ja, nur bei mir heißt b = a₁

Vergleich die Funktion von der ich ausgegangen bin!

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Okay, vielen lieben dank!!