Landeanflug vom Flugzeug, Abituraufgabe

Question

Aufgabe:

Die x1-Achse eines Koordinatensystems mit der Einheit Meter zeigt nach Osten,die x2-Achse nach Norden. In der x1x2-Ebene befindet sich ein Sportflugplatz. Am Ort A(300|100|0) steht der 30m hohe Tower. Den Landeanflug einer Cessna in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden beschreibt

Vektor X = (360|280|45) +t * (-24|-12|-3)

a) Wie groß ist die Sinkrate? Welche Geschwindigkeit hat die Cessna?

b)Wann und wo setzt sie auf der Laufbahn auf? Beim Aufsetzen sollte dieser Winkel höchtens 4 grad betragen. Gibt es eine weiche oder eine harte Landung?

c) Wann und in welcher Höhe ist die Entfernungder Cessna von der Spitze des Towers am kleinsten? Berechne die minimale Entfernung.

Nun wehe seit t = 0 Sekunden ein Seitenwind, der die Cessna pro Sekunde um (4|-8|0) aus ihrer ursprünglichen Richtung abtreibt.

d) Wann und wo landet die Cessna dann? Wie weit ist dieser Ort vom Landepunkt ohne Seitenwind entfernt?

Answer 1

a) Wie groß ist die Sinkrate? Welche Geschwindigkeit hat die Cessna?

Sinkrate: 3 m/s

Geschwindigkeit: |[-24, -12, -3]| = √(24^2 + 12^2 + 3^2) = 27 m/s = 97.2 km/h

b) Wann und wo setzt sie auf der Laufbahn auf? Beim Aufsetzen sollte dieser Winkel höchstens 4° Grad betragen. Gibt es eine weiche oder eine harte Landung?

[360, 280, 45] + t·[-24, -12, -3] = [x, y, 0] → x = 0 ∧ y = 100 ∧ t = 15 → [0, 100, 0]

α = ASIN(ABS([-24, -12, -3]·[0, 0, 1])/(ABS([-24, -12, -3])·ABS([0, 0, 1]))) = 6.379°

c) Wann und in welcher Höhe ist die Entfernung der Cessna von der Spitze des Towers am kleinsten? Berechne die minimale Entfernung.

([360, 280, 45] + t·[-24, -12, -3] - [300, 100, 30])·[-24, -12, -3] = 0 → t = 5

[360, 280, 45] + 5·[-24, -12, -3] = [240, 220, 30]
|[360, 280, 45] + 5·[-24, -12, -3] - [300, 100, 30]| = 134.2 m

Nun wehe seit t = 0 Sekunden ein Seitenwind, der die Cessna pro Sekunde um [4, -8, 0] aus ihrer ursprünglichen Richtung abtreibt.

d) Wann und wo landet die Cessna dann? Wie weit ist dieser Ort vom Landepunkt ohne Seitenwind entfernt?

[0, 100, 0] + 15·[4, -8, 0] = [60, -20, 0]
15·|[4, -8, 0]| = 134.2 m

Comments

Vielen vielen Dank! Ich werde es nochmal versuchen selber zu rechnen, aber ich nehme deins gerne zum kontrollieren ;) Dankeschön :)

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Ich werde es nochmal versuchen selber zu rechnen

Das solltest du auch, da ich z.B. wichtige Umformungsschritte weggelassen habe. Auch ist es teilweise günstiger vorher bereits Teilergebnisse zu rechnen und damit weiterzuarbeiten.

Auch das habe ich nicht gemacht, weil ich die Ansätze nur in den Rechner tippe und der Rechner dann damit arbeitet.

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Wie komme ich bei b) auf den Winkel? Bei mir kommt 11,072 raus...

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α = ASIN(ABS([-24, -12, -3]·[0, 0, 1])/(ABS([-24, -12, -3])·ABS([0, 0, 1])))

α = ASIN(ABS(-3)/(27·1))

α = ASIN(3/27)

α = ASIN(3/27) = 6.379°

ASIN ist auf dem Taschenrechner SIN^{-1}.

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Aha danke, ich habe meinen Fehler gefunden :)

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Huch, habe mich vertippt sorry...

Answer 2

a) Betrachte den Richtungsvektor. Er beschreibt nach Aufgabenstellung, um wie viele Meter sich das Flugzeug pro Sekunde in jede Richtungskomponente (x-Richtung, y-Richtung, z-Richtung) bewegt.

Sinkrate: an z-Richtung ablesen.

Geschwindigkeit: Berechne den Betrag des Richtungsvektors.

b) Aufsetzpunkt. Bestimme t, sodass die z-Komponente 0 wird. Löse also 45-3*t=0. Damit kannst du den Aufsetzpunkt bestimmen.

Sinkwinkel: Nimm den Richtungsvektor (-24,-12,-3) der Flugbahn und den Vektor (-24,-12,0). Das ist gerade der Vektor, welcher eine horizontale Flugbahn symbolisieren würde. Bestimme nun den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren. Hat man mehr als 4°, dann wird das keine sehr angenehme Landung. (Im realen Leben sind es standardmäßig 3° Sinkwinkel).

c) Hier ist der Abstand (minimale) von einer Gerade zu einem Punkt gefragt. Das geht zb mit dem Lotfußpunktverfahren.

d) Addiere zum Richtungsvektor (-24,-12,-3) den Abtreibvektor (4,-8,0). Damit erhältst du einen neuen Richtungsvektor (-20,-20,-3), der ab t=0s gültig ist. Verfahre wie bei b) und bestimme dann den Abstand beider Punkte.

Comments

Vielen lieben Dank!! Ich versuche es mal zu rechnen :)

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Muss ich dann die Formel

cosα=(u*v)/(|u|*|v|)

benutzen?

u=(-24,-12,-3) v=(-24,-12,0)

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also bei Aufgabe b) meine ich?

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Ja, genau richtig.