Grenzen in der Integralrechnung

Question

Sagen wir, ich soll die Fläche unter dem Graphen einer Funktion über dem Intervall  [0; -1] bestimmen (als Beispiel). Welche Grenze kommt oben und welche unter dem Integralzeichen, also was ist der Anfang des Intervalls bei einer Aufgabe wo man im negativen Bereich die Fläche bestimmt, ist es von -1 bis 0 oder 0 bis -1?

Comments

Du meinst [-1,0]?

Answer 1

Aloha :)

Die \(x\)-Achse hat eine Richtung, sie verläuft von links nach rechts. Das Integral ist positiv definiert, wenn die untere Grenze kleiner als die obere Grenze ist. Daher schreibt man meistens die kleinere Zahl als untere Grenze und die größere Zahl als obere Grenze. Das muss man aber nicht. Du kannst die Integralgrenzen auch vertauschen. Allerdings läufst du dann entgegen der Richtung der \(x\)-Achse, also vom größeren Wert zum kleineren Wert, sodass du das Vorzeichen von dem Integral ändern musst. In deinem Fall:$$\int\limits_{-1}^0f(x)dx=-\int\limits_0^{-1}f(x)dx$$Allgemein gilt das auch:$$\int\limits_a^bf(x)dx=-\int\limits_b^af(x)dx$$

Answer 2

Die kleinere Zahl ist die untere Integrationsgrenze.

Comments

dann wäre zum bei spiel von -2 bis -1 die -2 unten im integral zeichen oder?

---

Rechtschreibung!

Dann wäre zum Beispiel von -2 bis -1 die -2 unten im Integralzeichen oder?

Ja, so ist es.

---

Um Flächen zu berechnen, darf man nicht über Nullstellen hinweg integrieren. Unterhalb der x-Achse sind die Integrale negativ.

---

Im übrigen sollte auch immer im Intervall [a; b] das a die kleinere der beiden Zahlen sein.

Also z.B. [-1 ; 0] und nicht [0 ; -1]

Im Integral steht MEISTENS die kleinere Zahl unten am Integral. Das muss allerdings nicht so sein. Grade die Flächeninhaltsfunktion zu einer unteren Grenze kann als obere Grenze jede beliebige Zahl haben.