Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen in den reellen Zahlen für Q überabzählbar ist.

Question

Frage: Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen f: ℝ → ℝ mit f (ℚ) ⊆ ℚ überabzählbar ist.

Wie muss ich an diese Aufgabe heran gehen, um eine Lösung zu finden?

Answer 1

Die Potenzmenge \(P(\mathbb{Z})\) von \(\mathbb{Z}\) ist überabzählbar.
Wir konstruieren eine injektive Zuordnung \(P(\mathbb{Z})\rightarrow C(\mathbb{R},\mathbb{R}), M\mapsto f_M\)
auf folgende Weise:

Jedes \(x\in \mathbb{R}\) liegt in einem Intervall \([k,k+1)\) für ein \(k\in \mathbb{Z}\).
Im Falle \(k\in M\) definieren wir $$f_M(x)=\left\{\begin{array}{lcl}x-k&, \;falls\; & x\in[k,k+1/2]\\k+1-x&, \;falls\; & x\in [k+1/2,k+1)\end{array}\right\}$$

Im Falle \(k\notin M\) setzen wir

\(f_M(x)=0\) für \(x\in [k,k+1)\).

Nach Konstruktion liegt \(f_M\) in \(C(\mathbb{R},\mathbb{R})\) und es gilt \(f(\mathbb{Q})\subseteq \mathbb{Q}\).