Seine A,B nxn Matrizen mit det(A) =! 0. Zeigen Sie A^-1 * B und B * A^-1 besitzen dieselbe charakteristische Gleichung

Question

Aufgabe:

Seine A,B n×n Matrizen mit det(A) =! 0. Zeigen Sie A^-1 · B und B · A^-1 besitzen dieselbe charakteristische Gleichung.

Problem/Ansatz:

Habe bis jetzt das hier :

A^-1 · B = B · A^-1 | *A

B = A · B · A^-1

Komme irgendwie nicht weiter.Ist es überhaupt korrekt, dass ich A^-1 · B und B · A^-1 gleichgesetzt habe?

Vielen Dank

Answer 1

det(A^-1B-λE)=det(A^-1B-λA^-1A)=det(A^-1(B-λA))= det(A^-1)*det(B-λA)

=det(B-λA)*det(A^-1)=det((B-λA)A^-1)=det(BA^-1-λAA^-1)=det(BA^-1-λE)