Schauen wir uns die Folge doch mal ganz genau an:
$$\left(\left(1+\frac{\cos(n \pi)}{n}\right)^n\right)_{n \in \mathbb N}$$
Links steht die \(1\), da werden wir nicht viel machen können. Gleich daneben aber der Kosinus und der ist als Folge aufgefasst immer ein heißer Kandidat für Häufungspunkte. Hier haben wir jetzt \(\cos(n\pi)\), also den Kosinus vom \(\pi\)-fachen von \(n\). Erinnern wir uns an den Sinus, der hatte genau bei den ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) seine Nullstellen! Heißt, der Kosinus hat dort seine Extrema, sowohl Minima, als auch Maxima.
Es gilt also für unendlich viele \(n \in \mathbb N \), dass \(\cos(n \pi) = 1\) und gleichermaßen für unendlich viele \(n \in \mathbb N\), dass \(\cos(n \pi) = -1\). Genauer: Für alle geraden \(n\) haben wir ein Maximum, für alle ungeraden ein Minimum. Ist \(n\) gerade, dann gilt mit \(n = 2k\) für ein \(k \in \mathbb N\)
$$ \left(1 + \frac{\cos(2k \pi)}{2k} \right)^{2k} = \left(1 + \frac{1}{2k}\right)^{2k} \xrightarrow{k \to \infty} \mathrm e $$
also haben wir hier schon Mal \(\mathrm e\) als unseren ersten Häufungspunkt. Betrachten wir nun alle ungeraden \(n\), also \(n = 2k + 1\) für ein \(k \in \mathbb N\), erhalten wir
$$\left(1 + \frac{\cos((2k+1) \pi)}{2k+1} \right)^{2k+1} = \left(1 + \frac{-1}{2k+1} \right)^{2k+1} \xrightarrow{k \to \infty} \mathrm{e}^{-1}$$
und wir haben den zweiten Häufungspunkt gefunden. Weil die Menge der Folgenglieder der beiden Teilfolgen disjunkt sind und alle Folgenglieder abdecken, sind das auch die beiden einzigen Häufungspunkte (denn eine beliebige konvergente Teilfolge enthält immer entweder unendlich viele ungerade oder unendlich viele gerade Folgenglieder und konvergiert damit gegen einen der beiden Häufungspunkte).
