Flächeninhalt maximieren - Rechteck

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung \( f(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{-x} \) Im ersten Quadranten des Koordinatensystems wird ein Rechteck betrachtet, das eine seiner Ecken im Ursprung und die gegenüberliegende Ecke in einem Punkt \( P \) des Graphen besitzt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \( P \) so, dass
a) der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird,
b) der Umfang des Rechtecks minimal wird.

Problem/Ansatz:

Also es gilt ja A= l*h

aber wie komme ich nun auf die werte der beiden?

Answer 1

a) Flächeninh = A(x) = x * 2*e^-x                      (Länge x * Breite 2*e^-x)

jetzt Max. suchen! (x=1 kommt raus)

b) U(x) = 2*x + 2* 2e^-x    (4 Seitenlängen zusammenzählen!)

jetzt Max. suchen!  (x=ln 2 kommt raus)

Comments

Vielen dank! Für das max/min. Muss man dann lediglich die ableitung gleich 0 setzen oder?

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a) notw: f'(x)=0 liefert x=1

hinr: f ''(1) ausrechnen, <0 ⇒ Hochpunkt

Answer 2

Hallo

 wenn das Rechteck bis x=u geht ist die Fläche ja

A(u)=u*f(u)=u*2*e^u wie man ein Max findet weisst du ja?

U=2*u+2*f(u) jetzt das Min. finden

warum liest du so was nicht aus der Zeichnung ab? Statt u kannst du natürlich auch einen anderen Buchstaben nehmen etwa L für Länge. oder du schreibst erst mal A=a*b

 und b=f(a)

Gruß lul

Comments

Für max muss ich nur die Ableitung gleich 0 setzen, richtig?

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Hallo

 ja, eventuell überprüfen ob f''>0 aber da es nur ein f'=0 gibt und das Min einfach A=0 ist muss man das nicht.

bei b) auch U'=0 jetzt für das Min. das max ist oo

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

Für Fläche und Umfang gilt:$$F=x\cdot f(x)=2xe^{-x}\quad;\quad U=2x+2f(x)=2x+4e^{-x}$$

a) Maximale Fläche:

$$F'(x)=2\cdot e^{-x}+2x\cdot(-e^{-x})=2e^{-x}-2xe^{-x}=2e^{-x}(1-x)$$$$F''(x)=-2e^{-x}(1-x)-2e^{-x}=2e^{-x}(x-2)$$$$0\stackrel{!}{=}F(x)\quad\Leftrightarrow\quad x=1$$$$F''(1)=-2e^{-1}<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$$$P\left(1\left|\frac{2}{e}\right.\right)$$

b) Minimaler Umfang:

$$U'(x)=2-4\cdot e^{-x}=2(1-2e^{-x})$$$$U''(x)=4e^{-x}>0\quad\Rightarrow\quad\text{Extremum ist sicher ein Minimum}$$$$0\stackrel{!}{=}U(x)\quad\Leftrightarrow\quad (1-2e^{-x})=0\quad\Leftrightarrow\quad e^{-x}=\frac{1}{2}\quad\Leftrightarrow\quad-x=\ln\left(\frac{1}{2}\right)$$$$\phantom{0\stackrel{!}{=}U(x)}\quad\Leftrightarrow\quad-x=\ln(1)-\ln(2)=0-\ln(2)\quad\Leftrightarrow\quad x=\ln(2)$$$$P\left(\ln(2)\,|\,1\right)$$