Dimension und Basis eines Untervektorraumes bestimmen

Question

Aufgabe: Sei {v1,v2,v3} eine Basis eines 3-dimensionalen R-Vektorraumes V. Bestimmen Sie für alle a element R die Dimension und eine Basis des Untervektorraumes L({w1,w2,w3}) von V, wobei w1:= v1+v2+av3 ; w2:= v1+av2+v3 ; w3:= av1+v2+v3

Comments

c1*(v1+v2+av3) + c2*(v1+av2+v3) + c3*(av1+v2+v3)=(0,0,0)

Wie löse ich LGS und bilde dann die Basis?

Wie bestimme ich die Dimension?

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Hallo

 du ordnest nach den vi um also v1*(....)+v2*(,,,)+v3*(---)=0 und weisst nach Vors. dass alle Klammern 0 sind. für welche a ist das möglich? alle a, für die es eine Lösung gibt ist der UVR 3d

diese Gleichungen einfach nach Gauss auf Dreieck bringen

dass a=1 dim=1 ist siehst du ja gleich, alle w sind gleich.

dann bleibt noch a=-2

was findest du dafür?

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\begin{array}{c}& -S_1 & -a\cdot S_1\\1 & 1 & a\\1 & a & 1\\a & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}&  & +S_2\\1 & 0 & 0\\1 & a-1 & 1-a\\a & 1-a & 1-a^2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\1 & a-1 & 0\\a & 1-a & 2-a-a^2\end{array}\right)$$Das schreiben wir etwas strukturierter:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\1 & a-1 & 0\\a & -(a-1) & -(a-1)(a+2)\end{array}\right)$$Für \(a\ne1\) und \(a\ne-2\) erhalten wir 3 linear unabhängige Basisvektoren, nämlich genau die Spaltenvektoren der Matrix. Der Untervektorraum ist in diesen Fällen 3-dimensional.

Für \(a=-2\) wird die letzte Spalte eine Nullspalte. Der Untervektorraum ist 2-dimensional und die Basisvektoren sind die von Null verschiedenen Spaltenvektoren:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\1 & -3 & 0\\-2 & 3 & 0\end{array}\right)\quad\text{für }a=-2$$Für \(a=1\) werden die 2-te und die 3-te Spalte zu Nullspalten. Der Untervektorraum ist 1-dimensional und als Basisvektor bleibt nur eine Spalte übrig:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\text{für }a=1$$