Verteilungsfunktion ohne f(x) bestimmen

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F einer über [-\( \frac{π}{2} \), \( \frac{π}{2} \) ] stetig gleichmäßig verteilten Zufallsvariable X.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wirklich wie ich hier F bestimmten kann da mir ja f(x) fehlt.

Spontan fällt mir jetzt erstmal nur ein beispielsweise f(x) = a zu setzen.

Ich weiß, dass die Verteilungsfunktion die Fläche von 1 haben muss.

Irgendwie könnte ich also vermutlich ein Gleichungssystem aufstellen?

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Aloha :)

Wegen der Normierung auf \(1\) lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte$$f(x)=\frac{1}{\pi}\quad;\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}\right]$$Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Zufallsvariable \(X\) einen Wert \(\le x\) hat:$$F(x)=\int\limits_{-\pi/2}^x f(\tilde x)\,d\tilde x=\int\limits_{-\pi/2}^x \frac{1}{\pi}\,d\tilde x=\frac{1}{\pi}\left[\tilde x\right]_{-\pi/2}^x=\frac{1}{\pi}\left(x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{x}{\pi}+\frac{1}{2}$$