Funktionsgleichung f(x)= (x^2-1)*e^-x einen Graphen zuordnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Graphen der Funktion f mit f(x)= (x^2-1)*e^-x, ihrer Ableitungsfunktion f', einer Stammfunktion F von f und der Funktion g mit g(x)= -f(x).

a) Begründen Sie, dass nur der in Fig. 1 dargestellte Graph zu f gehören kann.

Problem/Ansatz:

Ich hab zunächst die Ableitungsfunktion von f gebildet: f'(x)= 2x*e^-x + (x^2-1)*-e^-x und durch die Tatsache das g(x) eine gespiegelte Funktion von f ist, die Funktionen per Ausschlussverfahren und dann mit dem GTR den Figuren zugeordnen können. Die Aufgabe soll jedoch ohne Taschenrechner gelöst werden. In den Lösungen steht dass f die Nullstellen x1=-1 und x2=1 besitzt und deshalb nur der erste Graph passt. Das erschließt sich mir nicht wirklich, weil Figur 3. auch Nullstellen bei -1 und 1 hat. Kann mir jemand deshalb bitte erklären wieso nur Figur 1. zur Funktion f passt?

Und ich hätte noch die Frage wie man die Stammfunktion F bildet. Normalerweise würde ich die Funktion wie folgt aufleiten: (1/3x^3-1x) * e^-x

Wenn ich diese Stammfunktion aber in den GTR eingebe, passt sie zu keinem der vier Bilder.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion lautet umgeformt:$$f(x)=(x^2-1)\,e^{-x}=(x-1)(x+1)\,e^{-x}$$sie hat 2 Nullstellen, eine bei \(x=-1\) und eine bei \(x=1\). Das trifft nur auf die Graphen in Figur 1 und Figur 3 zu. Es gilt jedoch auch noch$$f(0)=(0^2-1)\,e^{-0}=-1$$Damit scheidet Figur 3 aus und Figur 1 bleibt übrig.

Eine Stammfunktion zu \(f(x)\) kannst du wie folgt berechnen:

$$F(x)=\int\underbrace{(x^2-1)}_{=u}\,\underbrace{e^{-x}}_{=v'}dx=\underbrace{(x^2-1)}_{=u}\,\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=v}-\int\underbrace{2x}_{=u'}\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=v}dx$$$$\phantom{F(x)}=-(x^2-1)e^{-x}+\int \underbrace{2x}_{=u}\,\underbrace{e^{-x}}_{=v'}dx$$$$\phantom{F(x)}=-(x^2-1)e^{-x}+\underbrace{2x}_{=u}\,\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=v}-\int \underbrace{2}_{=u'}\,\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=v}dx$$$$\phantom{F(x)}=-(x^2-1)e^{-x}-2xe^{-x}+\int2e^{-x}dx$$$$\phantom{F(x)}=-(x^2-1)e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}=e^{-x}\left(-x^2+1-2x-2\right)$$$$\phantom{F(x)}=-e^{-x}\left(x^2+2x+1\right)=-(x+1)^2\,e^{-x}$$

Comments

Vielen vielen lieben Dank! :)

Answer 2

Die Funktion f(x) hat die Nullstellen -1 und 1, damit kommen nur die erste und die dritte Abbildung in Frage.

Welche von beiden die zutreffende ist, findet man durch die Betrachtung des Vorzeichens der Funktionswerte zwischen den Nullstellen oder durch Betrachtung des Verhaltens im Unendlichen.

Dein Integrationsversuch ist abenteuerlich und kann nicht funktionieren (leite deine "Stammfunktion" doch mal ab). Du benötigst zweimalige partielle Integration.

Answer 3

Hallo

 du hast recht, wegen der Nullstellen käme erstmal 1 und 3 für f in Frage dann müsste man zusätzlich f(0) ansehen, das ist negativ (-1) und damit fällt 3 weg und  Fig 3 muss g sein,

 deine Stammfunktion ist falsch, du kannst in einem Produkt nicht einfach einen der Faktoren integrieren , wie du es gemacht hast, aber das wurde ja hier auch nicht verlangt!

Im Netz gibt es gute integralrechner.de wenn du nur was überprüfen willst.

Gruß lul

Comments

Kannst du mir vielleicht erklären wie du allein durch das Angucken der Funktion f(x)= (x2-1)*e^-x erkennst wo welche Nullstellen sind? Ich weiß, dass momentan nur durch die Lösungen

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(x²-1) * e^-x = 0  

Nach dem Nullproduktsatz muss mindestens einer der Faktoren = 0 sein.

Da e^-x nie Null wird, muss  x² - 1 = 0  gelten

                        ⇔  x² = 1   ⇔ x = ± 1

Answer 4

Dass Fig 1 zu f(x) gehört siehst du ja an den Achsenschnittpunkten, da nur hier f(0)=-1 und f(1)=0 gilt.

Fig. 3 gehört wegen der Spiegelung an der x-Achse zu g(x).

Für F(x) und f'(x) brauchst du nicht abzuleiten und zu integrieren. Du musst nur das Verhalten bei Extrema kennen.

Die Extrema von f(x) sind die Nullstellen von f'(x). Da die Extrema von f(x) ungefähr bei -0,5 und +2,5 liegen, muss Fig.4 zu f'(x) gehören.

Es gilt F'(x)=f(x). Daher müssen die Nullstellen von f(x) den Extremstellen von F(x) entsprechen. Und bei Fig. 2 liegen die Extrema bei -1 und +1.

Der Graph von F(x) könnte dabei auch nach oben oder unten verschoben sein, da bei Stammfunktionen +C addiert werden darf.