Extremwertproblem - Maximaler Flächeninhalt eines Dreiecks

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für welchen Wert von a der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.

Funktion: f(x)= x*e^-0,5x+1
Die Punkte P (a/0), Q(a/f(a)) und R (0/0) bilden für 0<a<3 ein Dreieck.

Problem/Ansatz:
Bisher habe ich diesen Ansatz gewählt:

Hauptbedingung: A = 1/2 * g * h
Nebenbedingung:
A(a) = 1/2 * a * f(a)
A(a) = 1/2 * a * (a*e^-0,5a+1)
A(a) = 1/2a^2*e^-0,5a+1

A(a)' = 1a*e^-0,5a+1
0 = 1a*e^-0,5a+a

Kann jemand überprüfen ob die beiden Rechenwege (bzw. auch die Ableitung), die fett hervorgehoben sind, richtig sind? Ich bin mir bei der Ableitung absolut nicht sicher. Ansonsten wollte ich noch fragen, wie man weiter vorgehen muss? Ich würde jetzt eigentlich die erste Ableitung gleich 0 setzen um die Extremstellen herauszubekommen und dann die y-Werte berechnen, indem ich die Werte der Extremstellen für x in die Ausgangsfunktion einsetze. Ist das korrekt?

Comments

Wie lautet R?

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Ups, sorry, R ist (0/0)

Answer 1

A(a) = 1/2 a²*e^-0,5a+1 stimmt noch.

Beim Ableiten brauchen wir aber die Produktregel und die Kettenregel:

A '(a)= a*e^-0,5a+1 + 1/2 a² * e^-0,5a+1 * (-0,5) innere Abl.

           u'  v           +  u          v'

A '(a)= a*e^-0,5a+1 (1 - 1/4 a)

notw: A '(a)=0

liefert a=0 und a=4

hinr: A''(a) ≠0 oder andere Überlegung.

a=0 liefert ein "Dreieck" mit dem Flächeninhalt=0

Wenn a→∞, dann A→0.

Da A(4)>0 muss bei 4 das einzige Maximum sein.

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Vielen Dank! Du hast mir sehr gut weitergeholfen! :)