Differenzierbarkeit von Funktion

Question

Aufgabe: Ist f differenzierbar?

Gegeben ist das Intervall \( I:=[-4,2] \) die Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x+5 & x \in[-4,-2) \\ 2-(x+1)^{2} & x \in[-2,0) \\ 1+x & x \in[0,2] \end{array}\right. $$

a) Ist \( f \) stetig in \( [-4,2] ? \)
b) Ist \( f \) differenzierbar in \( (-4,2) ? \)
c) Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen und alle globalen Extrema der Funktion \( f \)

Problem/Ansatz:

Hallo, Ich muss die Frage beantworten, ob differenzierbar ist. Könnte mir jemand erklären, was die Aufgabe will, was machen muss? Stetig sind die Funktionen. Für Differenzierbarkeit habe ich die Ableitungen gemacht. Was als nächstes?

 

Answer 1

Da schaust du einfach, ob an den Flickstellen beide Teilfunktionen

die gleiche Ableitung haben:

Bei der -2 wären das ja bei den beiden Teilen

f'(x)=2 und f '(x)= -2x-2

und an der Stelle x=-2 gibt das bei beiden f ' (-2) = 2,

stimmt überein, also f dort differenzierbar.

Die andere Stelle ist x=0

Da vergleichst du  f '(x)= -2x-2  und  f '(x)= 1

Das stimmt bei x=0 nicht überein, also dort nicht

differenzierbar.

Comments

Also die Steigung vegleichen.

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genau! Beide Teile gleiche Steigung bedeutet

hier:   differenzierbar