Die Elemente von \( K=\mathbb{F}_{2}[x] /\left(x^{2}+x+1\right) \) sind genau die Restklassen aller möglicher Reste die bei der Polynomdivision mit Rest durch \( x^2+x+1\) in \( \mathbb{F}_2[x]\) entstehen können, also:
$$ \overline{0}, \overline{1}, \overline{x}, \overline{x+1} $$
Beachte, dass der Grad von den Resten immer echt kleiner als der Grad des Divisors (hier =2) ist.
Kannst du damit die Verknüpfungstafeln selbst aufstellen? Für die Eigenschaft "Körper" ist nur noch die Existenz von multiplikativen Inversen nachzuweisen, die kannst du ja dann aber aus der Tafel entnehmen. Alle restlichen Eigenschaften vererben sich aus der Ringstruktur von \( \mathbb{F}_2[x] \).
