Jeder Teilring eines nicht kommutativen Rings ist auch nicht kommutativ. (falsch)

Question

Aufgabe: Jeder Teilring eines nicht kommutativen Rings ist auch
nicht kommutativ. (falsch)

Problem/Ansatz:

Ich finde leider kein Gegenbeispiel zu dieser Aussage. Ich hätte erst vermutet, dass der Matrizenring der quadratischen Matrizen, der ja nicht kommutativ ist, irgendwie funktionieren könnte. Aber gibt es dort einen Teilring, der kommutativ ist?

Answer 1

{0} ist ein kommutativer Teilring jedes Rings.

Comments

Stimmt - und bezogen auf Matrizen ist also {\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)} ein kommutativer Teilring von dem nicht-kommutativen Matrizenring der quadratischen Matrizen? Kann man das als konkretes Gegenbeispiel nehmen?

Answer 2

Ein nicht triviales Beispiel:

\(\{c\cdot E_n:\; c\in K\}\) ist ein kommutativer Teilring von \(Mat_n(K)\)

(auch für \(n\geq 2\)).

Das ist ein Gegenbeispiel, das auch noch funktioniert,

wenn man unter Teilring einen solchen meint, der dasselbe

Einselement hat wie der Oberring. Dies wird häufig gefordert.

Comments

Ah vielen dank, das stimmt. Danke :)