Beweis Determinanten

Question

Aufgabe:

Seien A,B ∈M(n×n,ℝ). Wir setzen voraus,dass B invertierbar ist.

a) Beweisen Sie det(B*A*B^-1) = det(A)

b) Sei det(A) < -1 und det(B) < -1. Kann man folgern, dass det(A*B) > 1 ist? Wenn ja Beweis ansonsten Gegenbeispiel

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit Beweisen. Ich weiß, dass det (A*A^-1)= det(En)= 1 ist. Aber wie baue ich das in diesen Beweis ein.

Bei b) habe ich leider keine Ahnung.

Danke.

Answer 1

Wenn man den Multiplikationssatz kennt:

det(A*B) =det(A)*det(B)

ist ja alles ganz einfach, man muss den nur anwenden.

det(B*A*B^-1)

= det(B)*det(A)*det(B^(-1))  da Mult. von Zahlen kommutati

= det(A)*det(B)*det(B^(-1))

= det(A)*det(B*B^(-1))

= det(A)*det(E)

=det(A)*1

= det(A)

und bei b) auch einfach anwenden.

Sollte der Satz hier allerdings noch zu beweisen sein, ist es relativ

kompliziert, siehe z.B.

https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2583

Comments

Dankeschön für die schnelle Hilfe.

Könnte man bei der b das so schreiben:

Es gilt: det(A)*det(B)= det(A*B)

Nach Voraussetzung ist det(A)<-1 und det(B)<-1

= det(A)<-1*det(B)<-1 =det(A*B)>1 da zwei negative Zahlen multipl. etwas positives ergeben.