Polynomfunktionen in Matrizen umwandeln

Question

Aufgabe:

Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben: A(-1,6), B(1,4), C(3,58) und D(-2,-2)

Problem/Ansatz:

gleichungssystem zur berechnung der koeffizienten erstellen

in matrizenform umwandeln

matrizen ausrechnen

Answer 1

Aloha :)

Ansatz für das Polynom 3-ten Grades: \(p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Wir setzen die Punkte ein:$$\begin{array}{c}6&=&p(-1)&=&-a&+b&-c&+d\\4&=&p(1)&=&a&+b&+c&+d\\58&=&p(3)&=&27a&+9b&3c&+d\\-2&=&p(-2)&=&-8a&+4b&-2c&+d\end{array}$$Das ergibt ein lineares Gleichungssystem, das wir mittels Gauß-Verfahren lösen können. Ich schreibe die 2-te Gleichung als erste auf, weil sie so schön einfach ist und ich dadurch einfacher rechnen kann:

$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 1 & 1 & 1 & 4\\-1 & 1 & -1 & 1 & 6\\27 & 9 & 3 & 1 & 58\\-8 & 4 & -2 & 1 & -2\end{array}\right]\begin{array}{l}{}\\{}\\{+Z_1}\\{-27\cdot Z_1}\\{+8\cdot Z_1}\end{array}$$$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 2 & 0 & 2 & 10\\0 & -18 & -24 & -26 & -50\\0 & 12 & 6 & 9 & 30\end{array}\right]\begin{array}{l}{}\\{-0,5\cdot Z_2}\\{:2}\\{+9\cdot Z_2}\\{-6\cdot Z_2}\end{array}$$$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & -24 & -8 & 40\\0 & 0 & 6 & -3 & -30\end{array}\right]\begin{array}{l}{}\\{}\\{}\\{:(-24)}\\{:6}\end{array}$$$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 0 & 1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{5}{3}\\0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -5\end{array}\right]\begin{array}{l}{}\\{-Z_3}\\{}\\{}\\{-Z_3}\end{array}$$$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\0 & 1 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{5}{3}\\0 & 0 & 0 & -\frac{5}{6} & -\frac{10}{3}\end{array}\right]\begin{array}{l}{}\\{}\\{}\\{}\\{\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)}\end{array}$$$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\0 & 1 & 0 & 1 & 5\\0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{5}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right]\begin{array}{l}{}\\{+\frac{1}{3}\cdot Z_4}\\{-Z_4}\\{-\frac{1}{3}\cdot Z_4}\\{}\end{array}$$$$\left[\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\1 & 0 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & -3\\0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right]$$Das gesuchte Polynom ist daher:$$p(x)=2x^3+x^2-3x+4$$

~plot~ 2x^3+x^2-3x+4 ; [[-2,5|2,5|-3|10]] ~plot~

Answer 2

Hallo

p(x)=ax^3+bx^2+cx+d

 die Punkte einsetzen, ergibt das GS, das in Matrizenform bringen, die mit Gauss auf Dreiecksform

 du sollst wohl nicht "Matrizen ausrechnen" sondern das GS lösen.

Gruß ledum