Frage zur Lösung einer logarithmischen Gleichung und Tipps zum lösen ähnlicher Gleichungen

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe leider Probleme mit dieser Gleichung.

\( \frac{ln (x^2) - ln (1-x)}{ln (2x)} \) = 2

Problem/Ansatz:

D = x ∈ ℝ | x > 0

ln (\( \frac{x^2}{1-x} \)) = ln (2x^2)

ln (\( \frac{x^2}{(1-x) × 2x^2} \))

x=0 ?

Die Lösungsmenge in der Aufgabe ist: L= {0 ; 75}

Ich bin mir nicht sicher, ob ich alle Regeln richtig angewandt habe und wo mein Fehler liegt. Es wäre lieb, wenn mir jemand noch 1-2 Tipps für den Ablauf der Rechnung solcher Gleichungen geben könnte.

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hallo,

\( \begin{aligned} \frac{\ln \left(x^{2}\right)-\ln (1-x)}{\ln (2 x)} &=2 \quad | \cdot \ln (2 x) \\ \ln (x^2)-\ln (1-x) &=2 \ln (2 x) \\ \ln \left(\frac{x^{2}}{1-x}\right) &=\ln (2 x)^2 \text {  e hoch } \\ \frac{x^{2}}{1-x} &=4 x^{2} \\ x^{2} &=4 x^{2}(1-x) \\ x^{2} &=4 x^{2}-4 x^{3} \\ 0 &=3 x^{2}-4 x^3 \\ 0 &=x^{2}(3-4 x) \\ x1.2=0 & \text { (keine Lösung, }\left._{\text {Probe }}\right) ! \\ x_{3}=3 / 4 & \text { Lösung } \end{aligned} \)

Comments

Oh sorry mein Fehler, ich meinte L = {0,75} dankeschön!

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Ich danke euch sehr!

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(2x>0\) muss \(x>0\) gelten, dann ist auch \(x^2>0\). Wegen \(1-x>0\) muss \(1>x\) gelten. Der Definitionsbereich ist daher \(x\in]0;1[\).

$$\left.\frac{\ln(x^2)-\ln(1-x)}{\ln(2x)}=2\quad\right|\;\cdot\ln(2x)$$$$\left.\ln(x^2)-\ln(1-x)=2\ln(2x)=2(\ln2+\ln x)=2\ln2+2\ln x\quad\right.$$$$\left.2\ln x-\ln(1-x)=\ln4+2\ln x\quad\right|\;-2\ln x$$$$\left.-\ln(1-x)=\ln4\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.\ln(1-x)=-\ln4=\ln\frac{1}{4}\quad\right|\;e^\cdots$$$$\left.1-x=\frac{1}{4}\quad\right|\;+x-\frac{1}{4}$$$$x=\frac{3}{4}$$

Answer 3

Alles so umformen, dass auf beiden Seiten \(\ln \ldots\) steht.

Dann \(e^\ldots\) bilden, sodass \(\ln\) wegfällt.

Definitionslücken beachten.

$$\frac{\ln (x^2) - \ln (1-x)}{\ln (2x)}=2~~~~~~~~~x\ne 0~~~;~~~x\ne 1$$

$$\ln\frac{ x^2 }{1-x}=2\cdot{\ln (2x)}$$

$$\ln\frac{ x^2 }{1-x}={\ln (2x)^2}$$

$$\frac{ x^2 }{1-x}={ (2x)^2}$$

$$\frac{ x^2 }{1-x}={ 4x^2}~~~~~|\cdot(1-x)$$

$$ x^2=4x^2(1-x) ~~~~~~| :x^2 ~~~;~~~x\ne 0$$

$$ 1=4\cdot(1-x) $$

$$ 0.25 =1-x $$

$$ x=0.75 $$

Answer 4

Hallo

 einen Fehler: 2ln(2x)=ln(4x^2)

 dann ln(A)=0 folgt A=1 also x^2/((1-x)*4x^2)=1

(für x=0 ist der Ausdruck nicht definiert da ln(0) nicht definiert ist.)

deshalb besser  bzw.  einfacher

ln(x^2)-ln(1-x)=ln(4*x^2)=ln4+ln(x^2)

 daraus -ln(1-x)=ln(4)

Gruß lul