Grenzwert (ln(3n^n)-ln((n+1)^n))/(ln(2^n)-nln(n+1)) (ohne L'Hospital)

Question

Aufgabe:

Grenzwert (ohne L'Hospital)

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{ln(3n^n)-ln((n+1)^n)}{ln(2^n)-nln(n+1)} $$

Problem/Ansatz:

könnte mir bitte jemand erklären, wieso bei dieser Aufgabe der Grenzwert 0 laut z.B. Wolfram Alpha rauskommt? Laut meiner Rechnung würde ich auf 1 kommen. Dabei dividiere ich im vorletzten Schritt, nach vorheriger Anwendung der Log-Regeln, durch nln(n+1). Also hätte ich doch im Zähler und Nenner jeweils -1/-1 und somit 1.

Answer 1

$$  \frac{ln(3n^n)-ln((n+1)^n)}{ln(2^n)-nln(n+1)} $$

$$=  \frac{ln(3)+ln(n^n)-ln((n+1)^n)}{ln(2^n)-nln(n+1)} $$

$$=  \frac{ln(3)+n*ln(n)-n*ln(n+1)}{n*ln(2)-nln(n+1)} $$

$$=  \frac{\frac{ln(3)}{n}+ln(n)-ln(n+1)}{ln(2)-ln(n+1)} $$

$$=  \frac{\frac{ln(3)}{n}+ln(\frac{n}{n+1})}{ln(\frac{2}{n+1})} $$

Im Zähler gehen beide Summanden gegen 0 und

im Nenner geht es gegen -∞. Also Grenzwert 0.

Comments

Ach jetzt sehe ich meinen Fehler. Danke für deine Hilfe.