Grenzwert ohne l'Hospital

Question

Aufgabe:

Grenzwert $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-cos(x)}{xtan(x)}$$ ohne die Regel von l'Hospital zu verwenden

Ansatz/Problem:

Ich habe mehrere Ansätze probiert, komme aber mit keinem zum Ziel, mein letzter Ansatz war: $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-cos(x)}{xtan(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-cos(x)}{x*\frac{sin(x)}{cos(x)}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(1-cos(x))*cos(x)}{xsin(x)}$$,ab hier komme ich aber nicht mehr richtig weiter, also ist dieser Ansatz wahrscheinlich auch nicht zielführend. Es ist eigentlich lim x->0, ich habe das mit dem LaTex-Assstenten leider nicht hinbekommen.

Vielen Dank

Comments

Gibt es da überhaupt eine Grenzwert ?

∞ ist keine Stelle auf dem Zahlenstrahl.

lim x -> ∞ [ cos ( x ) ] nicht definiert
lim x -> ∞ [ tan ( x ) ] nicht definiert

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Es ist eigentlich lim x->0, ich habe das mit dem LaTex-Assstenten leider nicht hinbekommen.

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Die Aufgabe ist falsch gestellt, weil die Funktion nicht ausreichend definiert ist.

Hat sich erledigt

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1. In der Nähe von 0 gilt nach Taylor : (1-cosx) / (x·tan x)  ≈  (1-(1-x²/2)) / (x·x)  =  1/2

2. Stets ist  (1-cos x) / (x·tan x)  =  cos x / (1 + cos x) * (sin x) / x

Answer 1

Der Bruch lässt sich mit (1+cos x) erweitern.
Die Beziehung \( \lim\limits_{x\to 0} \) \( \frac{sin(x)}{x}=1\) scheint nicht mehr allgemein bekannt zu sein (früher Schulstoff Klasse 12).

Answer 2

Hat sich erledigt.

Zur Erbauung
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Wenn du es eilig hast dann gehe langsam