Bestimmen Sie k ∈ ℝ so, dass der Graph mit der x-Achse eine Fläche vom angegebenen Flächeninhalt A einschließt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie k ∈ ℝ so, dass der Graph der Funktion f mit der x-Achse eine Fläche vom angegebenen Flächeninhalt A einschließt. Erläutern Sie anhand einer Skizze den Einfluss des Parameters k.

a) f(x)=-x ²+k ; A=36

Problem/Ansatz:

Ich habe  -x 2+k gleich null gesetzt. Dabei habe ich √k und -√k rausbekommen. Nun habe ich das Integral von -√k bis √k berechnet und 0 als Ergebnis bekommen.

Wo liegt mein Fehler?

Comments

In der Rechnung (die du nicht mitgeteilt hast) ist vermutlich ein Vorzeichenfehler. Außerdem ist bereits der Ansatz falsch.

Answer 1

Hallo,

kann es sein, dass du bei der Rechnung \(F(\sqrt{k})\) minus \(F(-\sqrt{k})\) die Vorzeichen in der 2. Klammer nicht gändert hast? Das Ergebnis ist k = 9

Gruß, Silvia

Comments

Ah ja stimmt, danke!

Wie komme ich denn von -1/3*√k³+k*√k-(-1/3*-√k3+k*-√k) zu dem Ergebnis 9?

Wie kann man das per Hand lösen? Der Parameter k verwirrt mich

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Selbst wenn ich das mit unserem Taschenrechner TI-84 Plus berechnen lasse, kommt da 0 raus. Aber ich glaube der kann das auch nicht.

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Behandle k wie ein x, das du aus anderen Gleichungen kennst:

$$F(\sqrt{k})=-\frac{1}{3}\sqrt{k}^3+k\cdot \sqrt{k}=-\frac{1}{3}k\cdot \sqrt{k}+k\cdot \sqrt{k}=\frac{2}{3}k\sqrt{k}\\ F(-\sqrt{k})=-\frac{1}{3}(-\sqrt{k})^3+k\cdot (\sqrt{k})=\frac{1}{3}k\cdot \sqrt{k}-k\cdot\sqrt{k}=-\frac{2}{3}k\sqrt{k}\\ \frac{2}{3}k\sqrt{k}-(-\frac{2}{3}k\sqrt{}k)=\frac{4}{3}k\sqrt{k}\\ \frac{4}{3}k\sqrt{k}=36\\ k\sqrt{k}=27\\ k^3=729\\k=9$$

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Ah danke! Ich verstehe es langsam..

 Wie kommst du denn von -\( \frac{1}{3} \)k*\( \sqrt{k} \)+k*\( \sqrt{k} \) auf \( \frac{2}{3} \)k\( \sqrt{k} \)?

Wenn man das umformt kommt man doch zunächst auf -\( \frac{1}{3} \)*\( k^{\frac{1}{2}} \)+k*\( k^{\frac{1}{2}} \) richtig?

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Und wie kommst du von k\( \sqrt{k} \) auf \( k^{3} \)?

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1. Frage:

Stell dir vor \(k\cdot\sqrt{k}=y\). Dann hättest du \(-\frac{1}{3}y+1y=\frac{2}{3}y\)

2. Frage

$$k\sqrt{k}=27\quad |^2\\ k^2\sqrt{k}^2=729\\ k^2\cdot k=k^3=729$$

Answer 2

Hier ein möglicher Lösungsweg mit einem TI-Nspire CX:

Möglicher Anfang einer händischen Rechnung bei Ausnutzung der Symmetrie: $$\int_{\sqrt{k}}^{-\sqrt{k}}\left(k-x^2\right)\text{ d}x=36 \\[2em] \int_{0}^{\sqrt{k}}\left(k-x^2\right)\text{ d}x=18 \\[2em] \Bigl[kx-\dfrac 13\cdot x^3\Bigr]_{0}^{\sqrt{k}}=18 \\[2em] \Bigl[x\cdot\left(k-\dfrac 13\cdot x^2\right)\Bigr]_{0}^{\sqrt{k}}=18 \\[2em] \sqrt{k}\cdot\left(k-\dfrac 13\cdot k\right)=18 \\[2em] \dfrac 23\cdot k\cdot\sqrt{k}=18 \\[2em]\dots$$

Answer 3

-1/3x³+kx in den Grenzen von -√k bis √k ist 4/3k^3/2.

4/3k^3/2=36  |·3/4

k^3/2=27       |dritte Wurzel

k^1/2=3         |(  )²

k=9.  

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Vielen Dank!

Wie hast du denn das Ergebnis des Integrals berechnet?

Ich bleibe bei -1/3*√k3+k*√k-(-1/3*-√k3+k*-√k) stecken. Und wir müssen das ohne Taschenrechner rechnen.

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Selbst wenn ich das mit unserem Taschenrechner TI-84 Plus berechnen lasse, kommt da 0 raus. Aber ich glaube der kann das auch nicht.

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Die Grenzen in das Unbestimmte Integral einsetzen. Obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt.

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In der Stammfunktion muss es kx statt k heißen!