Bestimme jeweils den Flächeninhalt A, den der Graph zu f(x) über dem Intervall I=[a;b] mit der x-Achse einschließt.
Das geht mit Integralen. Das Integral \(\int\limits_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\) wird ausgerechnet mittels
\(\int\limits_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\),
wobei \(F\) eine Funktion ist, deren Ableitung \(f\) ist (d.h. \(F\) ist eine sogenannte Stammfunktion von \(f\)).
Eine Eigenschaft des Integrals ist, dass es negativ ist, wenn \(a < b\) ist und \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. Zum Beispiel ist \(\int\limits_{-1}^1 \left(x^3-x\right)\,\mathrm{d}x = 0\). Schau dir den Graphen dazu an.
Weil es hier aber um Flächeninhalte geht, musst du die Abschnitte unterhalb der \(x\)-Achse und oberhalb der \(x\)-Achse getrennt ausrechnen und dann die Beträge addieren.
1. f(x)= x2-2x; I= [-2;1]
Nullstellen bestimmen.
\(x^2-2x = 0 \iff x=0 \vee x=2\).
Grund für die Bestimmung der Nullstellen ist, dass das die Stelllen sind, an denen die Funtionswerte von der einen zur anderen Seite der \(x\)-Achse wechseln können.
Die Nullstelle bei 2 interessiert nicht, weil sie außerhalb der Integrationsgrenzen -2 und 1 liegt. Die bei 0 muss aber beachtet werden.
Der gesuchte Flächeninhalt ist also
\(\left|\int\limits_{-2}^0\left(x^2-2x\right)\,\mathrm{d}x\right|+\left|\int\limits_{0}^1\left(x^2-2x\right)\,\mathrm{d}x\right|\).
“Bestimmung der Nullstellen: Eine Nullstelle durch Probieren und anschließend Polynomdivision!”
Laut dem Satz über rationale Nullstellen kommen als rationale Nullstellen von \(x^3-4x^2+x-6\) nur die Teiler von 6 in Frage, also 6, -6, 3, -3, 2, -2, 1 und -1.
