Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Überlege dir zunächst, für welche \(x\)-Werte die Funktion$$f(x)=(x^2+2x)\cdot e^x$$negativ ist, also unterhalb der x-Achse verläuft. Da die Exponentialfunktion \(e^x\) stets positiv ist, verläuft der Graph unterhalb der x-Achse, wenn \((x^2+2x)\) negativ ist:$$x^2+2x\le0\Longleftrightarrow x\cdot(x+2)\le0$$
$$\red{\text{1. Fall:}\quad x<-2\implies x<0\;\land\;x+2<0\implies x\cdot(x+2)>0}$$$$\red{\text{2. Fall:}\quad x>0\implies x>0\;\land\;x+2>0\implies x\cdot(x+2)>0}$$$$\green{\text{3. Fall:}\quad -2\le x\le 0\implies x\le0\;\land\;x+2\le0\implies x\cdot(x+2)\le0}$$
Der Graph verläuft also für \(x\in[-2;0]\) unterhalb bzw. auf der x-Achse.
~plot~ (x^2+2x)*e^x ; [[-3|1|-0,5|1]] ~plot~
Die gesuchte Fläche kannst du daher mit folgendem Integral formulieren:$$F=-\int\limits_{-2}^0(x^2+2x)\cdot e^x\,dx$$Das Minuszeichen vorne kommt daher, weil das Integral negativ ist, wenn die Kurve unterhalb der x-Achse verläuft. Es sorgt daher dafür, dass wir einen positiven Wert für die Fläche erhalten.
Das Integral selbst kannst bestimmen, indem du die Produktregel der Differentiation rückwärts verwendest:$$F=-\int\limits_{-2}^0(\underbrace{2x}_{=u'}\cdot \underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'})\,dx=-\left[\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right]_{-2}^0=\frac{4}{e^2}$$
