Bestimme jeweils den Flächeninhalt A, den der Graph zu f(x) über dem Intervall I=[a;b] mit der x-Achse einschließt?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:Die Aufgabenstellung ist Bestimme jeweils den Flächeninhalt A, den der Graph zu f(x) über dem Intervall I=[a;b] mit der x-Achse       einschließt. Ich bin leider in Quarantäne daheim und keiner hat mir die Möglichkeit die Aufgaben zu erklären. Ich habe etwas Angst, dass ich wegen den Aufgaben durchfalle. Vielleicht könnte mir jemand von euch helfen, falls es sich mit solch Aufgaben auskennt. Ich bin euch jetzt schonmal sehr dankbar für jede einzelne Antwort. Nur bei Aufgabe 4 ist       “Bestimmung der Nullstellen: Eine Nullstelle durch Probieren und anschließend Polynomdivision!” Vermerkt.

1. f(x)= x²-2x;  I= [-2;1]

2. f(x)= x³-x;  I= [-2;3]

3. f(x)= x²+3x-4 ;  I= [-1;3]

4. f(x)= x³-4x²+x-6 ;  I= [-2;2]

Answer 1

Bestimme jeweils den Flächeninhalt A, den der Graph zu f(x) über dem Intervall I=[a;b] mit der x-Achse     einschließt.

Das geht mit Integralen. Das Integral $\int\limits_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ wird ausgerechnet mittels

        $\int\limits_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$,

wobei $F$ eine Funktion ist, deren Ableitung $f$ ist (d.h. $F$ ist eine sogenannte Stammfunktion von $f$).

Eine Eigenschaft des Integrals ist, dass es negativ ist, wenn $a < b$ ist und $f$ unterhalb der $x$-Achse verläuft. Zum Beispiel ist $\int\limits_{-1}^1 \left(x^3-x\right)\,\mathrm{d}x = 0$. Schau dir den Graphen dazu an.

Weil es hier aber um Flächeninhalte geht, musst du die Abschnitte unterhalb der $x$-Achse und oberhalb der $x$-Achse getrennt ausrechnen und dann die Beträge addieren.

1. f(x)= x²-2x;  I= [-2;1]

Nullstellen bestimmen.

        $x^2-2x = 0 \iff x=0 \vee x=2$.

Grund für die Bestimmung der Nullstellen ist, dass das die Stelllen sind, an denen die Funtionswerte von der einen zur anderen Seite der $x$-Achse wechseln können.

Die Nullstelle bei 2 interessiert nicht, weil sie außerhalb der Integrationsgrenzen -2 und 1 liegt. Die bei 0 muss aber beachtet werden.

Der gesuchte Flächeninhalt ist also

        $\left|\int\limits_{-2}^0\left(x^2-2x\right)\,\mathrm{d}x\right|+\left|\int\limits_{0}^1\left(x^2-2x\right)\,\mathrm{d}x\right|$.

“Bestimmung der Nullstellen: Eine Nullstelle durch Probieren und anschließend Polynomdivision!”

Laut dem Satz über rationale Nullstellen kommen als rationale Nullstellen von $x^3-4x^2+x-6$ nur die Teiler von 6 in Frage, also 6, -6, 3, -3, 2, -2, 1 und -1.

Comments

Zeichne dir auch immer die gesuchten Funktionen und Flächen

1)

2)

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