Mit einem Widerspruchsbeweis zeigen

Question

Zeigen Sie mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises die folgende Aussage: Für jede natürliche Zahl \( t \geq 2 \) und jede natürliche Zahl \( n \) gilt: Wenn \( n \) ein Vielfaches von \( t \) ist, dann ist \( n+1 \) kein Vielfaches von \( t \).

Ließe sich das vielleicht so beginnen:

n=5t
n+1 = 5t

Answer 1

Angenommen, n ist ein Vielfaches von t und n+1 ist ein Vielfaches von t mit $$n, t \in \mathbb{N}, t \ge 2$$.

Dann gilt $$n = at, a \in \mathbb{N} \land n+1 = bt, b \in \mathbb{N}$$, also $$n + 1 = bt \Leftrightarrow n = bt - 1$$ und mit $$n = at$$: $$bt - 1 = at \Leftrightarrow bt - at = 1 \Leftrightarrow t(b-a) = 1 \Leftrightarrow t = \frac{1}{b-a}$$.

t ist aber eine natürliche Zahl und 1/(b-a) kann nur natürlich sein, wenn 0 < (b-a) <= 1.

0 < b-a < 1 kann nie gelten, da a und b natürlich sind. Ist b-a = 1, ist t = 1, aber t muss größer gleich 2 sein. Also ist die Annahme für alle t >= 2 falsch und damit gilt die Negation: Ist n ein Vielfaches von t, dann ist n+1 kein Vielfaches von t.