Wie forme ich diese Gleichung um, so dass ich die Gleichung auf der rechten Seite erhalte (rote Gleichung)?

Question

Mir fehlen die Zwischenschritte, unten ist mein Versuch auf die rechte Gleichung zu kommen. Wenn mir einer bitte die Zwischenschritte aufzeigen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Aloha ;)

Spielt da jemand mit den Fibionacci-Zahlen rum... ;)$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]+\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right]$$$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right]-\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right]$$$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\left[1+\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\right]-\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}\left[1+\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\right]$$$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\frac{3+\sqrt5}{2}-\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}\frac{3-\sqrt5}{2}$$$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\frac{1+2\sqrt5+5}{4}-\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}\frac{1-2\sqrt5+5}{4}$$$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2-\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2$$$$\phantom{=}\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+2}-\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+2}$$

Comments

!! Ich habe alles verstanden bis auf die eine Umformung: \( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \) das gleiche ist wie \( \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} \)

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Mit 2 erweitern...$$\frac{3+\sqrt5}{2}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{1+2\sqrt5+5}{4}=\frac{1+2\sqrt5+(\sqrt5)^2}{4}=\frac{(1+\sqrt5)^2}{4}$$

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Danke hahahha habe ich nicht gesehen

Answer 2

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n) + \frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}) $$

Erst mal 1/√5 ausklammern

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n + (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}) $$

Jetzt bei den Potenzen mit Exponent n+1 jeweils einen Faktor rausnehmen

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n + (\frac{1+\sqrt{5}}{2})* (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}) $$

Etwas umordnen :

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + (\frac{1+\sqrt{5}}{2})* (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}) $$

und hinten eine Minusklammer erzeugen

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n + (\frac{1+\sqrt{5}}{2})* (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})*(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n})) $$

Jetzt die Potenzen mit dem n ausklammern

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n (1+ (\frac{1+\sqrt{5}}{2}))-((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n*(1+(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))) $$

$$\frac{1}{\sqrt{5}}*((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n ( \frac{3+\sqrt{5}}{2})-((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n*(\frac{3-\sqrt{5}}{2})) $$

Und dann bedenke, bzw. rechne nach, dass

$$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2= \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

und bei "minus" entsprechend.

Answer 3

Hallo Mia,

hier findest Du die Umformung. Du musst nur die Exponenten austauschen. Statt \(n-2\) bis \(n\) ist es bei Dir \(n\) bis \(n+2\). Das ändert aber rein gar nichts an der Umformung.