Liebe Lounge, ich habe mich nochmal bisschen ausführlicher mit der Interpretation des bestimmten Integrals im Sachzusammenhang beschäftigt. Dadurch entwand zunächst folgende Feststellung (1), welche ich gerne bestätigt oder kommentiert wissen würde. Ich gebe mir Mühe, das Ganze sehr ausführlich aufzuschreiben, sodass ein detaillierter Kommentar möglich wird:
(1)
Dabei ist klar, dass wenn f eine Änderungsrate angibt, z.B. km/h und t in h gemessen wird, dass dann F(t) der zurückgelegte Weg zu einer Zeit t ist. Da das Integral die Summe von infinitesimal breiten Rechtecken ist, wird auch die Fläche unter einer Kurve exakt berechnet.
Die einzelnen Summanden sehen dann z.B. so aus: 0,0000...1 h * 4km/h , usw.
Auch klar ist, dass wenn man z.b. \( \frac{1}{3} \) \( \int\limits_{0}^{3} \) f(t)dt ausrechnet, man gerade die durchschnittliche Geschwindigkeit erhält in den ersten 3h. Um sich das besser vorstellen zu können, denkt man erstmal an Rechtecke mit einer Breite von \( \frac{1}{100}h \). Man summiert jetzt also 300 mal den Flächeninhalt der \( \frac{1}{100}h \) breiten Rechtecke auf. Somit kommt man wieder auf eine Gesamtzeit von 3h. Wenn man also den Durchschnitt pro Stunde berechnen möchte, muss man noch durch 3h teilen.
Ebenso kann man sich das Ganze für \( \frac{1}{n}h \) vorstellen, mit n --> ∞.
(2) Es entstanden aber auch ein paar Fragen.
(2.1) Der Durchschnitt ergibt auch von den Einheiten her auch bei einer Bestandsgröße einen Sinn. z.B. könnte P(t) die Anzahl an Menschen in einem Raum gemessen an der vergangenen Zeit in h angeben. Dann würde \( \frac{0}{10} \) \( \int\limits_{0}^{10} \)P(t)dt angeben, wie viele Menschen durchschnittlich in dieser Zeitspanne im Raum waren (ALLERDINGS NICHT PRO h, ODER?).
Während beim Integral von einer Änderungsratenfunktion auch das tatsächliche Integral Sinn ergibt (absolute Änderung des Bestandes), wäre doch das tatsächliche Integral der Bestandsfunktion in diesem Sachzusammenhang (Anzahl an Menschen im Raum) keine sinnvolle Größe oder?
Ähnlich wäre es doch, wenn G(t) die Temperatur zur aktuellen Uhrzeit (angegeben in vollen h) angeben würde. \( \frac{1}{b-a} \) \( \int\limits_{a}^{b} \) G(t)dt würde die Durchschnittstemperatur über den Messzeitraum angeben, wohingegen \( \int\limits_{a}^{b} \) G(t)dt keine sinnvolle Größe wäre oder?
(2.2) Genauso wäre es doch nicht möglich, mithilfe der obigen Bestandsfunktion P(t) anzugeben, wieviele Menschen insgesamt nach 10 h im Raum waren oder? Weil wenn z.B. 10 Menschen rausgehen und gleichzeitig 10 reinkommen, wären ja 10 Menschen mehr im Raum gewesen, allerdings hätte sich der Funktionswert nicht verändert.
VIIIIIEEEEEELEEEEN DANK für eure Hilfe liebes Board!!!
Liebe Grüße aus der Quarantäne
Kombinatrix
