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Liebe Lounge, ich habe mich nochmal bisschen ausführlicher mit der Interpretation des bestimmten Integrals im Sachzusammenhang beschäftigt. Dadurch entwand zunächst folgende Feststellung (1), welche ich gerne bestätigt oder kommentiert wissen würde. Ich gebe mir Mühe, das Ganze sehr ausführlich aufzuschreiben, sodass ein detaillierter Kommentar möglich wird:


(1)

Dabei ist klar, dass wenn f eine Änderungsrate angibt, z.B. km/h und t in h gemessen wird, dass dann F(t) der zurückgelegte Weg zu einer Zeit t ist. Da das Integral die Summe von infinitesimal breiten Rechtecken ist, wird auch die Fläche unter einer Kurve exakt berechnet.

Die einzelnen Summanden sehen dann z.B. so aus: 0,0000...1 h * 4km/h , usw.

Auch klar ist, dass wenn man z.b. \( \frac{1}{3} \) \( \int\limits_{0}^{3} \) f(t)dt ausrechnet, man gerade die durchschnittliche Geschwindigkeit erhält in den ersten 3h. Um sich das besser vorstellen zu können, denkt man erstmal an Rechtecke mit einer Breite von \( \frac{1}{100}h \). Man summiert jetzt also 300 mal den Flächeninhalt der \( \frac{1}{100}h \) breiten Rechtecke auf. Somit kommt man wieder auf eine Gesamtzeit von 3h. Wenn man also den Durchschnitt pro Stunde berechnen möchte, muss man noch durch 3h teilen.

Ebenso kann man sich das Ganze für \( \frac{1}{n}h \) vorstellen, mit n --> ∞.


(2) Es entstanden aber auch ein paar Fragen.


(2.1) Der Durchschnitt ergibt auch von den Einheiten her auch bei einer Bestandsgröße einen Sinn. z.B. könnte P(t) die Anzahl an Menschen in einem Raum gemessen an der vergangenen Zeit in h angeben. Dann würde \( \frac{0}{10} \) \( \int\limits_{0}^{10} \)P(t)dt angeben, wie viele Menschen durchschnittlich in dieser Zeitspanne im Raum waren (ALLERDINGS NICHT PRO h, ODER?).

Während beim Integral von einer Änderungsratenfunktion auch das tatsächliche Integral Sinn ergibt (absolute Änderung des Bestandes), wäre doch das tatsächliche Integral der Bestandsfunktion in diesem Sachzusammenhang (Anzahl an Menschen im Raum) keine sinnvolle Größe oder?


Ähnlich wäre es doch, wenn G(t) die Temperatur zur aktuellen Uhrzeit (angegeben in vollen h) angeben würde.  \( \frac{1}{b-a} \) \( \int\limits_{a}^{b} \) G(t)dt würde die Durchschnittstemperatur über den Messzeitraum angeben, wohingegen \( \int\limits_{a}^{b} \) G(t)dt keine sinnvolle Größe wäre oder?


(2.2) Genauso wäre es doch nicht möglich, mithilfe der obigen Bestandsfunktion P(t) anzugeben, wieviele Menschen insgesamt  nach 10 h im Raum waren oder? Weil wenn z.B. 10 Menschen rausgehen und gleichzeitig 10 reinkommen, wären ja 10 Menschen mehr im Raum gewesen, allerdings hätte sich der Funktionswert nicht verändert.



VIIIIIEEEEEELEEEEN DANK für eure Hilfe liebes Board!!!


Liebe Grüße aus der Quarantäne

Kombinatrix

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Wenn man von kleinen Fipptehlern und leicht unkorrekter Formulierung absieht ist dein Konstrukt soweit richtig.

Schwierig zu beurteilen ist hingegen was keine sinnvolle Größe ist.

während Hektoliter für die einen eine Sinnvolle größe ist, ist es für andere keine Sinnvolle größe.

Während ich mir noch etwas unter Sonnenstunden vorstellen kann, weil meine App mir die Sonnenstunden für einen Tag angibt tu ich mich mit Termperaturstunden schon deutlich schwerer.

Nur weil die meisten Leute damit aber nichts anfangen können gibt es vielleicht auch Klimaforscher die öfter mit der Einheit Temperaturstunden umgehen.

Ich könnte dazu einen Bekannten fragen, der in einem sehr großen Labor Klimaforschung betreibt.

Ein Integral kann immer nur beurteilen wie sich der Bestand in einem Zeitraum geändert hat, solange man nicht den Bestand zu einem festen Zeitpunkt gekannt hat. Das liegt halt daran, das es unendlich viele Stammfunktionen gibt.

Langt dir das soweit oder hast du noch konkrete Fragen?

Avatar von 489 k 🚀

Vielen Dank, könntest du mir nochmal was zu 2.2 sagen bitte ?

Weil selbst wenn man sagt die Personenzahl im Raum hat sich UM 50 erhöht, muss es doch nicht heißen, dass 50 neue reingekommen sind. Könnten ja auch 200 gewesen sein, wenn zugleich 150 rausgegangen sind?

Und es ist richtig, dass der Mittelwert bei P(t) die durchschnittliche Personenanzahl über den gesamten Zeitraum des Integrals angibt und nicht pro Stunde oder?

Das ist richtig. Zum einen gibt die Änderung immer nur die Summe aller Änderungen an.

Wenn wir die Differenz der Bevölkerungszahlen zweier Jahre nehmen, dann kannst du damit auch noch nicht sagen wie viele Gestorben und Geboren wurden. Wir bekommen halt nur die Summe aller Änderungen mit.

Weiterhin kannst du nie etwas zu dem wirklichen Bestand in einem Jahr sagen.

Und es ist richtig, dass der Mittelwert bei P(t) die durchschnittliche Personenanzahl über den gesamten Zeitraum des Integrals angibt und nicht pro Stunde oder?

Die Einheit ist dann in Personen und nicht Personen/Stunde.

Hast du eine Funktion

f(x) gemessen in km/h  und x gemessen in h

Dann hat das Integral ∫ (a bis b) f(x) dx = F(b) - F(a) die Einheit km

Teilt man das wieder durch (b - a) hat man wieder die Einheit km/h

Also

1/(b - a) * ∫ (a bis b) f(x) dx = (F(b) - F(a)) / (b - a) ist die mittlere Geschwindigkeit in km/h

Wenn du jetzt aufmerksam bist erkennst du da einen ausdruck der ja so ähnlich ist wie (f(b) - f(a)) / (b - a). Was bedeutet denn dieser letzte Ausdruck im Sachkontext?

Du meinst dieser Ausrudck: (f(b) - f(a)) / (b - a) ?


Im Sachkontext, dass f die Geschwindigkeit in km/h angibt?


Das ist dann die durchschnittliche Beschleunigung?

Das ist dann die durchschnittliche Beschleunigung?

Genau.

f(x) gibt eine Geschwindigkeit an und der Differentialquotient (f(b) - f(a)) / (b - a) eine mittlere/durchschnittliche Beschleunigung

F(x) gibt eine Strecke an und der Differentialquotient (F(b) - F(a)) / (b - a) eine mittlere/durchschnittliche Geschwindigkeit

Okay. Das ist schon mal super. Bleibt noch eine Frage, die ich bereits in einem anderen Thread hier im Board schonmal gestellt hatte.


Wenn f(t) die Konzentration eines Wirkstoffs in Mikrogramm/liter Blut zu einem Zeitpunkt t in h angibt.

Warum gibt jetzt das Integral (von 0 bis 8) die Wirkstoffmenge in Mikrogramm an, die vom Körper insgesamt in diesem Zeitraum aufgenommen wird?

Weil dort wäre ja die Einheit Mikrogramm Stunden, unter welcher ich mir wirklich nichts mehr vorstellen kann...

Warum gibt jetzt das Integral (von 0 bis 8) die Wirkstoffmenge in Mikrogramm an, die vom Körper insgesamt in diesem Zeitraum aufgenommen wird?

Wenn ich mich recht erinnere habe ich dir damals schon gesagt das das völlig falsch ist. Jeder Physiklehrer würde sich im Grab umdrehen wenn er von solcher Vergewaltigung der Einheiten erfährt.

Ich habe gesagt das man das Integral als die Wirkmenge in Mikrogramm/liter * h die auf den Körper einwirkt interpretieren kann.

Okay vielen Dank!!!

Wobei ich mir unter dieser Einheit weiterhin nichts vorstellen kann... Kannst du das erklären?

"Der Pharmakonzern behauptet: „Vom Medikament f
wird etwa doppelt so viel Wirkstoff aufgenommen wie vom Medikament
k."


--> Das steht in der Aufgabe. Und man soll zeigen, wie man das nachweisen kann.


In der Lösung steht das:


Ein Hinweis ist hier, dass es sich um eine insgesamt aufgenommene Menge handelt. Du kannst dies so deuten, dass hier nach einem Integral gefragt ist. Eine mögliche Lösung wäre also:
Man kann die Behauptungen überprüfen, in dem man für beide Funktionsterme über den Definitionsbereich das Integral bestimmt. Sollte das Ergebnis vom Integral von f
hier etwa doppelt so groß wie das Ergebnis des Integrals von k
ausfallen, wäre die Behauptung richtig.

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