Fragen zu Termumformungen bei Brüchen

Question

Aufgabe:

Es ging darum sowas zusammen zu fassen:

e^(k-k*((k+1)/k)

Es kommt heraus:

e^(k-k+1)

Problem/Ansatz:

Ich kann das zwar nachvollziehen, aber bevor ich die Lösungen gesehen habe, hätte ich es so gemacht:

e^(k-((k^2+k)/k)

= e^(k-k+k)

Ich hätte also das zweite k mit der Klammer im Zähler ausmultipliziert k*(k+1) = k^2+k

Damit komme ich dann allerdings nicht zu e^1 sondern zu e^k

Warum darf ich das nicht ausmultiplizieren?

Answer 1

Ich hätte also das zweite k mit der Klammer im Zähler ausmultipliziert k*(k+1) = k²+k

Darfst du machen. Ist aber kontraproduktiv. Idee ist, mit \(k\) zu kürzen. Dazu brauchst du im Zähler ein Produkt. Wenn du ausmultiplizierst, dann hast du im Zähler eine Summe.

Damit komme ich dann allerdings nicht zu e¹ sondern zu e^k

Wie?

\(k-k\cdot\frac{k+1}{k}=k-\frac{k\cdot\left(k+1\right)}{k}=k-\left(k+1\right)=k-k-1=-1\)

Im zweiten Schritt wurde mit \(k\) gekürzt.

Comments

So:

e^(k-((k*(k+1)/k))

=e^(k-((k^2+k)/k)

=e^(k-(k+k))

=e^(-k)

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Die Umformung von \(\frac{k^2+k}{k}\) zu \(k+k\) ist nicht korrekt. Das kannst du zum Beispiel erkennen indem du \(k = 2\) einsetzt. Dann ist nähmlich

        \(\frac{k^2+k}{k} = \frac{2^2+2}{2} = 3\)

aber

        \(k+k = 2+2 = 4\).

Answer 2

Da kommt e^-1 raus, nicht e^1.

Vergiss nicht, dass du -1 mit (k+1) ausmultiplizierst.

Comments

Ich sehe bloß nicht wieso, denn man kann das zweite k doch auf einen langen Bruchstrich schreiben und dann normal ausmultiplizieren, so wie es MontyPython aufgeschrieben hat. Anstelle das k wegzukürzen hätte ich es bloß ausmultipliziert.

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Habe mich verlesen, schon entfernt.

Answer 3

$$e^{k-k\cdot(k+1)/k}$$

Entscheidend ist ja nur der Exponent.

$$k-\frac{k\cdot(k+1)}{k}=k-(k+1)=k-k-1=-1$$

Also:

$$e^{k-k\cdot(k+1)/k}=e^{-1}=\frac{1}{e}$$

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Du hast folgenden Fehler gemacht:

e^(k-((k^2+k)/k)= e^(k-(k+k))

Richtig ist:

e^(k-((k^2+k)/k)= e^(k-(k+1))=e^(k-k-1)=e^(-1)

Comments

Aber warum darf man das k*(k+1) nicht ausmultiplizieren? Also man käme dann auf ein anderes Ergebnis.

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Du darfst ausmultiplizieren, musst aber die Minusklammer beachten.

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Jetzt hab ich’s glaub ich verstanden. Also ist es genau genommen so:

K-((k^2+k)/k)

= k-(k^2/k+k/k)

= k-(k+1)

Usw

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Genau. Allerdings finde ich zuerst mit k kürzen einfacher, weil beim Ausmultiplizieren eben solche Fehler auftreten können.