Zeigen sie durch Termumformungen, dass sie beiden Funktionsgleichungen äquivalent zur logistischen Wachstumsfunktion …

Question

Aufgabe: Zeigen sie durch Termumformungen, dass sie beiden Funktionsgleichungen äquivalent zur logistischen Wachstumsfunktion g mit g(t) = S / (1 + (S/g(0) -1) *e^-k*S*t  sind.

\( \begin{aligned} g(t) &=\frac{S}{1+\left(\frac{S}{g(0)}-1\right) \cdot e^{-k \cdot s \cdot t}} \\ \text { a.) } g(t) &=\frac{g(0) \cdot S}{g(0)+(S-g(0)) \cdot e^{-k \cdot s \cdot t}} \\ \text { b.) } g(t)=\frac{g(0) \cdot 5 \cdot e^{k \cdot S \cdot t}}{g(0) \cdot e^{k \cdot S \cdot t}+S-g(0)} \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Deshalb bin ich hier, habe stand jetzt keinen Ansatz wie/was ich umformen soll um auf den gewollten term zu komme/ dies nachzuweisen, für Ansätze oder Vorrechnungen bin ich dankbar

MfG

Comments

Für a erweitere den Bruch mit g(0). Anschließend für b mit exp(kSt).

Answer 1

$$g(t)=\frac{S}{1+(\frac{S}{g(0)} - 1) \cdot e^{-k \cdot S \cdot t}}\\ \text {Erweitern mit} ~ g(0)\\ g(t)=\frac{g(0) \cdot S}{g(0) + (S - g(0)) \cdot e^{-k \cdot S \cdot t}}\\ \text {Erweitern mit} ~ e^{k \cdot S \cdot t} \\ g(t)=\frac{g(0) \cdot S \cdot e^{k \cdot S \cdot t}}{g(0) \cdot e^{k \cdot S \cdot t} + S - g(0)}$$

Comments

Wie genau meint ihr das mit erweitern?

Ich entschuldige die blöde Frage, habe sehr lange nichts mehr mit Termen im Spezifischen gemacht, habe nur Integrale im Kopf^^...

---

Man erweitert einen Bruch, indem man Zahler und Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert.

Dieser Merksatz gehörte zur Bruchrechnung. Ist also schon etwas länger her.

---

Also wenn ich mit g(0) erweitere habe ich oben: (g(0) * S) * g(0) also = g(0)² * S *g(0)
und im nenner : g(0)* (g(0) + (S - g(0)) *e^-k*S*t + S - g(0) also = g(0)²  + g(0) * S - g(0)²
*e^-k*S*t * g(0)

Wie genau bringt das jedoch näher an die Vorausgesetzte Fkt. g(t) = S / (1 + (S/g(0) -1) *e-k*S*t ?

MfG

---

Am Anfang steht nur S im Zähler und das erweitert mit g(0) ist einfach nur S * g(0)

---

Hallo noch einmal Ich habe das ganze jetzt noch einmal durch gerechnet,

habe aber beim 1sten. ein g(0) zu viel und bei dem 2ten ein e^-k*S*t zu viel.

Da Ich kein Bild davon hierreinschicken kann würde Ich fragen ob ihr mir das ggf. einmal vorrechnen könnt? Ich komme zumind. nur durch erweitern nicht auf exakte Äquivalenz, sondern nur annähernd.

MfG