Differenzialgleichung des logistischen Wachstums beweisen

Question

Aufgabe:

Wir sollen als Hausaufgabe die Formel des logistischen Wachstums überprüfen -> dafür nehmen wir die Differenzialgleichung für die Ableitung f‘(x)=k*f(x)*(S-f(x)) und wollen diese beweisen, in dem wir ebenfalls die Ableitung des logistischen Wachstums errechnen und zeigen, dass beides ineinander überführbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe wie in der Datei unten zu erkennen bereits angefangen aber weiß nicht, wie ich beides ineinander umwandeln soll? Bitte Hilfe und Hinweise ich hab echt keine Ahnung.

Text erkannt:

Überprüfing der Differenzialgleichung:
1). Differenzialgleichung anwenden
\( f^{\prime}(t)=k \cdot \frac{S}{1\left(\frac{S}{(f 0)}-1\right) e^{-t s t}} \cdot\left(S-\left(\frac{s}{1+\left(\frac{S}{(f 0}-1\right)} e^{-k s t}\right)\right) \)
2) Ableitung biden: \( \quad v(v(x))=u^{\prime}(x) \cdot v^{\prime}(u(x)) \) \( \frac{b}{1+(a-1) \cdot e^{c x}} \quad \) aupere Finction \( \frac{1}{x}=x^{-1} \Rightarrow-1 \cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}} \)

2 innere Finction \( 1+(a-1) \cdot e^{c x} \Rightarrow(a-1) c e^{c x} \)
\( f^{\prime}(t)=\left(\frac{s}{f(0)}-1\right) \cdot(-k \cdot s) \cdot e^{-k \cdot S t} \cdot\left(-\frac{s}{\left(1+\left(\frac{s}{f(0)}-1\right) \cdot e^{-k \cdot s t}\right)^{2}}\right)=-\frac{k s}{f(0)} \)
Dokument 90

Answer 1

Du sollst vermutlich verifizieren, dass $$f(t)=S \cdot \frac{1}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ die DGL \(f'(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))\) erfüllt. Die erste Ableitung ist:$$f'(t)=S \cdot \frac{k S e^{-k S t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{\left(1+e^{-k S t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)\right)^{2}}$$ Da erkennt man recht schnell \(f(t)\) drinnen, es ist: $$f'(t)=f(t)\frac{kSe^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}=kf(t)\frac{Se^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ Du musst also nur noch verifizieren, dass $$S-f(t)=\frac{Se^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ Bzw. vielleicht einfacher für dich:$$f(t)=S-\frac{Se^{-ksT}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}{1+e^{-k \cdot S \cdot t}\left(\frac{S}{f(0)}-1\right)}$$ Da musst Du nur noch beide Terme auf einen Nenner bringen und Ausmultiplizieren.