Du hast die Kettenregel falsch angewendet:
Der erste Schritt ist soweit noch okay, also:
f(t)= 15* (1+5e^{-30t} ) ^{-1}
Du machst den Fehler, und leitest die innere Funktion ab und ersetzt sie mit der Ableitung.
Bei der Kettenregel gilt aber: innere Ableitung mal äußere Ableitung.
Wir bilden also die innere Ableitung: -150e(^-30t)
Und unsere äußere Funktion ist x^{-1}. Die äußere Ableitung ist somit: -1 x^{-2}
Wir multiplizieren innere mit äußerer Ableitung:
-150e(^-30t)* -1 x^{-2} = 150e(^-30t)* x^{-2}
Für x behalten wir aber die ursprüngliche innere Funktion bei. Das besagt die Kettenregel nämlich, also:
f'(x) = -15* 150e(^-30t)* (1+5e^{-30t}) ^{-2}
Durch umformen,müsstest du deinen Ausdruck erhalten.