Question

Ableitung der Formel des logistischen Wachstums:

\( f(t)=\frac{15}{1+5 e^{-30 t}} \)

Mein Ansatz:

\( f(t)=15 \cdot\left(1+5 e^{-30 t}\right)^{-1} \)
\( f^{\prime}(t)=-15\left(-30 \cdot 5 e^{-30 t}\right)^{-2} \)
\( f^{\prime}(t)=-15\left(-150 e^{-30 t}\right)^{-2} \)
\( f^{\prime}(t)=\frac{-15}{\left(-150 \cdot e^{-30 t}\right)^{2}} \)
\( f^{\prime}(t)=\frac{-15}{\left(-150 \cdot e^{-30 t}\right)} \cdot \frac{1}{\left(-150 \cdot e^{-30 t}\right)} \)

Durch Ableiten von f(t) soll diese Differentialgleichung raus kommen: \( \left.f^{\prime}(t)=2 \cdot f(t) \cdot (15-f(t)\right) \)

Mein Problem ist, dass ich durch ableiten nicht weiter komme.. was mache ich falsch. Man kann doch nur die kettenregel anwenden da ja nur im nenner ein x vorkommt und wenn man es als Produkt schreibt ist ja auch nur in dem einen Produkt ein x also keine Quotienten- und keine Produktregel... Wo liegt mein Denkfehler?

Answer 1

Du hast aber die Kettenregel nicht richtig angewandt:

f(x) = 15*(1+5e ^{- 30t} ) ^-1
f ' (x) = - 15 * ( 1+5e ^{- 30t} ) ^-2 *(-30)*5*e ^{- 30t}     

Die Klammer hoch -1 gibt als Ableitung (-1)*Klammer^{-2} und dann erst * Ableitung des Klammerinhalts.

       

Answer 2

Du hast die Kettenregel falsch angewendet:

Der erste Schritt ist soweit noch okay, also:
f(t)= 15* (1+5e^{-30t} ) ^{-1}

Du machst den Fehler, und leitest die innere Funktion ab und ersetzt sie mit der Ableitung.

Bei der Kettenregel gilt aber: innere Ableitung mal äußere Ableitung.

Wir bilden also die innere Ableitung: -150e(^-30t)

Und unsere äußere Funktion ist x^{-1}. Die äußere Ableitung ist somit: -1 x^{-2}

Wir multiplizieren innere mit äußerer Ableitung:

-150e(^-30t)* -1 x^{-2} = 150e(^-30t)* x^{-2}

Für x behalten wir aber die ursprüngliche innere Funktion bei. Das besagt die Kettenregel nämlich, also:

f'(x) = -15* 150e(^-30t)* (1+5e^{-30t}) ^{-2}

Durch umformen,müsstest du deinen Ausdruck erhalten.