Berechnung:
$$ \begin{array}{l} g(x)=\frac{5000}{1+100 \cdot e^{-0,05 x}} \\ g^{\prime}(x)=k \cdot g(x) \cdot(5-g(x) \\ g^{\prime}(x)=0,05 \cdot \frac{5000}{1+100 e^{-0.05 x}} \cdot\left(5000-\frac{5000}{1+100 e^{0,05 x}}\right) \\ g^{\prime}(x)=\frac{250}{1+100 e^{-0,05 x}}\left(5000-\frac{5000}{1+100 e^{-0,05 x}}\right) \end{array} $$
Hiermit ergeben sich zu große Werte für die Änderungsrate: \( g'(0)=12253,701 \)
Es handelt sich um eine Modellierung einer Mäusepopulation \( \Rightarrow \) Sie wird durch ein logistisches Wachstum mit der Grenze 5000 modelliert. Damit kann doch die Zuwachsrate nicht größer als 5000 sein (siehe \( g'(0) \)).
Ansatz/Problem:
Die Entwicklung einer Mäusepopulation lässt sich durch die Funktion g modellieren. Es handelt sich um ein logistisches Wachstum Ich soll nun die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall (0;200) angeben. Dafür muss ich die Ableitung von g(x) bilden und die Werte für X=0 und x=200 bestimmen, davon die Differenz bilden und dann durch 200 teilen.
Mein Problem ist gerade, dass ich obwohl ich weiß wie man die Ableitung für logistisches Wachstum bildet (siehe oben) keine realistischen Werte für die Änderungsrate raus kommen (siehe g'(0)). Die Änderungsrate der Mäusepopulation kann doch nicht größer als die maximale Anzahl an Mäusen sein, weil die Änderungsrate doch den Zuwachs beschreibt...
Als Lösung für die Aufgabe lautet, dass die durchschnittliche Änderungsrate 24,63 beträgt. Mit meiner Ableitung komme ich aber auf ungefähr 33. Aber wie gesagt das zentrale Problem liegt darin, dass ich wissen will ob meine Ableitung richtig ist und wenn ja warum die Werte für die Änderungsrate so überdimensional groß sind (ich hab alles richtig in den GTR eingegeben)...
