Um strenge Monotonie einer Folge zu zeigen, kann man da einfach die vollständige Induktion verwenden?

Question

ich hatte das noch nicht in den Vorlesungen. Habe mir mal gedacht, dass man, wenn man $$\forall n_1, n_2 \in \mathbb{N}, n_2 = n_1+1 : a_{n_2} > a_{n_1}$$ mit vollständiger Induktion beweist, doch die strenge Monotonie von der Folge beweist, oder?

Das würde ich z.B. für $$a_n := n - \frac{1}{n}$$ so machen:

$$(IA)~n_1 = 1, n_2 = n_1 + 1 = 2, a_1 = 1 - 1/1 = 0, a_2 = 2 - 1/2 = 1,5 > a_1$$

$$(IS) n \rightarrow n+1, a_{n+1} > a_n \Leftrightarrow n+1-\frac{1}{n+1} > n - \frac{1}{n}$$

(...)

$$n^2 > -(n+1)$$

Ich habe jetzt die Umformungsschritte ausgelassen.

Wäre das so ein Monotonie-Beweis? Achso, was wäre die Induktionsvermutung? Da komme ich gerade nicht drauf.

Danke,

Thilo

Answer 1

Warum eine Induktion ansetzen?

Wenn a_n streng monoton wächst, dann gilt a_n < a_n+1 für alle n∈ℕ

Dann setzt du deine definition von a_n ein und formst um, wenn du keinen Fehler gemacht hast steht dann da:

n²+n+1 > 0 und das ist für alle n eine wahre Aussage, also a_n < a_n+1 auch wahr

Comments

Ja, stimmt. Hatten das heute in der Vorlesung auch durchgesprochen. Danke