Exponentialgleichung, Textaufgabe Bakterien

Question

Ein Bakterienstamm aus 500 Bakterien vermehrt sich exponentiell in fünf Stunden auf
512000 Bakterien.
1.) Ermittle, um welchen Faktor die Bakterienanzahl in einer Stunde zunimmt.
2.) Gib an, nach welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdreifacht hat.
Die für die Berechnung notwendige Wachstumsfunktion lautet:
() = 0 ∗
∗
N(t) Bakterienanzahl zur Zeit t in Stunden
N0 Bakterienanzahl zur Zeit t=0
t Anzahl der Stunden
zu 1.)
Setze in die Wachstumsfunktion die bekannten Werte ein und berechne
512000 = 500 ∗
∗5
Nachdem berechnet wurde, berechne den gesuchten Faktor durch
=
Zu 2.)
3 ∗ 0 = 0 ∗
∗
, verwende für den in 1.) berechneten Wert und berechne t

Könnt ihr mir bitte helfen?

Answer 1

1.)

Die allgemeine Gleichung für eine Wachstumsfunktion / Exponentialfunktion lautet: $$N(t)=N_0 \cdot a^{t}$$

Wir wissen, dass nach 5h die Bakterienzahl auf 512000 gestiegen ist und der Anfangswert $$N_0 = 500$$ ist, also können wir sagen: $$N(5)=512000$$

Diese Gleichung kann man nun ausführlich aufschreiben: $$500 \cdot a^{5} = 512000$$ und diese Gleichung nach a (dem Faktor, den wir suchen) auflösen.

$$500 \cdot a^{5} = 512000$$

auf beiden Seiten durch 500 teilen

$$a^{5} = 1024$$

die 5. Wurzel auf beiden Seiten ziehen

$$a = 4$$

Der Faktor mit dem die Bakterienanzahl pro Stunde zunimmt ist 4.

Wenn wir a=4 nun in die allgemeine Funktion einsetzen, dann haben wir die Funktion und können Aufgabe 2.) machen: $$N(t)=500 \cdot 4^{t}$$

2.)

Hier müssen wir die Funktion mit dem Dreifachen der Anfangszahl 500, also 1500 gleichsetzen: $$N(t)=1500$$

Jetzt müssen wir die Zeit rausfinden, indem wir $$500 \cdot 4^{t} = 1500$$ nach t umstellen:

$$500 \cdot 4^{t} = 1500$$

auf beiden Seiten durch 500 teilen

$$4^{t} = 3$$

den Logarithmus auf beiden Seiten anwenden

$$ln(4^t)=ln(3)$$

Logarithmusgesetze anwenden

$$t \cdot ln(4)=ln(3)$$

auf beiden Seiten durch ln(4) teilen

$$t=\frac{ln3}{ln4} \approx 0,792$$

Die Bakterienanzahl hat nach ca. 0,792h 1500 erreicht.

Comments

Irgendwie geht es nicht die Aufgabe korrekt darzustellen, also hier das Foto:

Text erkannt:

Ein Bakterienstamm aus 500 Bakterien vermehrt sich exponentiell in fünf Stunden auf 512000 Bakterien.
1.) Ermittle, um welchen Faktor die Bakterienanzahl in einer Stunde zunimmt.
2.) Gib an, nach welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdreifacht hat.
Die fur die Berechnung notwendige Wachstumsfunktion lautet:
\( N(t)=N_{0} * e^{\lambda_{*} t} \)
\( \mathrm{N}(\mathrm{t}) \quad \) Bakterienanzahl zur Zeit t in Stunden
No Bakterienanzahl zur Zeit t \( =0 \)
Anzahl der Stunden
\( z u 1 .) \)
Setze in die Wachstumsfunktion die bekannten Werte ein und berechne \( \lambda \)
\( 512000=500 * e^{\lambda_{*} \cdot 5} \)
Nachdem \( \lambda \) berechnet wurde, berechne den gesuchten Faktor durch \( e^{\lambda}= \)
Zu \( 2 .) \)
\( 3 * N_{0}=N_{0} * e^{\lambda * t}, \) verwende für \( \lambda \) den in \( 1 . \) ) berechneten Wert und berechn

---

Klar, so geht es auch. Das ist eine Exponentialfunktion mir der Basis e. Aus deiner Frage ging bloß die Art nicht hervor, weswegen ich eine Exponentialfunktion mit irgendeiner Basis genommen habe.

Grüße Simplex

---

Also kann ich deine Antwort als Antwort für meine Aufgabe verwenden? :)

Grüße!

---

Hallo

 nein du musst da schon mit der Exponentialfunktion machen also lambda bestimmen. versuch es und wir korrigieren.

Gruß lul

---

Nein leider nicht. Du musst jetzt von der Relation $$500 \cdot a^t =500 \cdot e^{\lambda \cdot t}$$ gebrauch machen und sie nach λ umstellen:

$$500 \cdot a^t =500 \cdot e^{\lambda \cdot t}$$

auf beiden Seiten durch 500

$$a^t =e^{\lambda \cdot t}$$

natürlicher Logarithmus auf beiden Seiten

$$ln(a^t) =ln(e^{\lambda \cdot t})$$

Logarithmusgesetz anwenden

$$t\cdot ln(a) =\lambda \cdot t\cdot ln(e)$$

auf beiden Seiten durch t teilen

$$ln(a) = \lambda \cdot ln(e)$$

ln(e) = 1 also weg damit und es bleibt: $$ln(a) = \lambda$$

Du musst also den natürlichen Logarithmus auf a anwenden um λ herauszufinden.

Unser Fall: $$ \lambda = ln(4) \approx 1,3863$$

Die Gleichung heißt also, wenn wir den Wert von λ einsetzen:

$$N(t) = 500 \cdot e^{1,3863t}$$

Wir können testen indem wir N(5) berechnen:

$$N(5)=500 \cdot e^{1,3863 \cdot 5} = 512014,4457$$

Die Zahl ist relativ nahe an der gegebenen Bakterienpopulation, also liegen wir wahrscheinlich richtig mit der Gleichung.

Weitere Fragen einfach stellen. :)

Grüße Simplex

Answer 2

512000 = 500*a^5

a= (512000/500)^(1/5)

f(t) = 500*a^t

b) a^t =3

t = ln3/ln a

Comments

Danke, habe es jetzt korrekt eingegeben!

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Irgendwie geht es nicht die Aufgabe korrekt darzustellen, also hier das Foto:

Text erkannt:

Ein Bakterienstamm aus 500 Bakterien vermehrt sich exponentiell in fünf Stunden auf 512000 Bakterien.
1.) Ermittle, um welchen Faktor die Bakterienanzahl in einer Stunde zunimmt.
2.) Gib an, nach welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdreifacht hat.
Die fur die Berechnung notwendige Wachstumsfunktion lautet:
\( N(t)=N_{0} * e^{\lambda_{*} t} \)
\( \mathrm{N}(\mathrm{t}) \quad \) Bakterienanzahl zur Zeit t in Stunden
No Bakterienanzahl zur Zeit t \( =0 \)
Anzahl der Stunden
\( z u 1 .) \)
Setze in die Wachstumsfunktion die bekannten Werte ein und berechne \( \lambda \)
\( 512000=500 * e^{\lambda_{*} \cdot 5} \)
Nachdem \( \lambda \) berechnet wurde, berechne den gesuchten Faktor durch \( e^{\lambda}= \)
Zu \( 2 .) \)
\( 3 * N_{0}=N_{0} * e^{\lambda * t}, \) verwende für \( \lambda \) den in \( 1 . \) ) berechneten Wert und berechne t

Answer 3

Hallo

 es gibt 2 Wege für exponentielles Wachstum:

N(t)=N(0)*a^t dabei ist a zu bestimmen. oder N(t)=N(0)*e^k*t, dabei ist k zu bestimmen.

welche der Funktionen benutzt ihr?

im ersten fall weisst du N(5)=500*a^5=512000

dividiere durch 500 und entweder ziehe die 5 te Wurzel ode benutze log.

entsprechend mit der e funktion , da benutzt du ln

2. N(t)=3*N(0)=1500 t bestimmen

jetzt sag genau wenn du damit nicht weiterkommst, woran du scheiterst. Lies bitte die Vorschau durch, bevor du abschickst, deine Gleichungen sind nicht lesbar!

Gruß lul

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Danke, habe es jetzt korrekt eingegeben!

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Irgendwie geht es nicht die Aufgabe korrekt darzustellen, also hier das Foto:

Text erkannt:

Ein Bakterienstamm aus 500 Bakterien vermehrt sich exponentiell in fünf Stunden auf 512000 Bakterien.
1.) Ermittle, um welchen Faktor die Bakterienanzahl in einer Stunde zunimmt.
2.) Gib an, nach welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdreifacht hat.
Die fur die Berechnung notwendige Wachstumsfunktion lautet:
\( N(t)=N_{0} * e^{\lambda_{*} t} \)
\( \mathrm{N}(\mathrm{t}) \quad \) Bakterienanzahl zur Zeit t in Stunden
No Bakterienanzahl zur Zeit t \( =0 \)
Anzahl der Stunden
\( z u 1 .) \)
Setze in die Wachstumsfunktion die bekannten Werte ein und berechne \( \lambda \)
\( 512000=500 * e^{\lambda_{*} \cdot 5} \)
Nachdem \( \lambda \) berechnet wurde, berechne den gesuchten Faktor durch \( e^{\lambda}= \)
Zu \( 2 .) \)
\( 3 * N_{0}=N_{0} * e^{\lambda * t}, \) verwende für \( \lambda \) den in \( 1 . \) ) berechneten Wert und berechne t

Answer 4

1) 500·a⁵=512000

a⁵=1024

a=4

Die Bakterienanzahl nimmt in einer Stunde um den Faktor 4 zu

2) 500·4^t=1500

4^t=3

t=ln(3)/ln(4)

Nach 0,79 Stunden (47,5 Minuten)  hat sich die Bakterienzahl verdreifacht.

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Danke, habe es jetzt korrekt eingegeben!

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Irgendwie geht es nicht die Aufgabe korrekt darzustellen, also hier das Foto:

Text erkannt:

Ein Bakterienstamm aus 500 Bakterien vermehrt sich exponentiell in fünf Stunden auf 512000 Bakterien.
1.) Ermittle, um welchen Faktor die Bakterienanzahl in einer Stunde zunimmt.
2.) Gib an, nach welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdreifacht hat.
Die fur die Berechnung notwendige Wachstumsfunktion lautet:
\( N(t)=N_{0} * e^{\lambda_{*} t} \)
\( \mathrm{N}(\mathrm{t}) \quad \) Bakterienanzahl zur Zeit t in Stunden
No Bakterienanzahl zur Zeit t \( =0 \)
Anzahl der Stunden
\( z u 1 .) \)
Setze in die Wachstumsfunktion die bekannten Werte ein und berechne \( \lambda \)
\( 512000=500 * e^{\lambda_{*} \cdot 5} \)
Nachdem \( \lambda \) berechnet wurde, berechne den gesuchten Faktor durch \( e^{\lambda}= \)
Zu \( 2 .) \)
\( 3 * N_{0}=N_{0} * e^{\lambda * t}, \) verwende für \( \lambda \) den in \( 1 . \) ) berechneten Wert und berechne t