Kreiskegel Volumenberechnung

Question

Aufgabe:

Der Durchmesser eines gerade Kreiskegels beträgt 10cm, die Höhe 12cm.

a. Berechne das Volumen des Kegels.

b. Der Behälter wird bis zur halben Höhe mit Wasser gefüllt. Wie viel % des gesamten Volumens macht das Wasservolumen aus?

c. In den leeren Behälter werden 157cm³ = 50π Wasser gefüllt. Wie hoch steht das Wasser?

d. Der Mantel des Behälters wird mit Blech verkleidet. Wie viel cm² Blech werden gebraucht, wenn 6,5% Verschnitt gerechnet werden.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe alles, aber bei Nummer c bin ich mir unsicher.

Answer 1

Wie Du an (b) siehst, ist ein Kegel, wenn er bis zur halben Höhe gefüllt ist, deutlich voller als die Hälfte (bei Spitze oben) oder deutlich leerer als die Hälfte (bei Spitze unten).

zu (c):

Wenn die Spitze unten ist, berechne, wie hoch das Wasser steht.

Wenn die Spitze oben ist, berechne, wie hoch der noch leere Kegel ist, und daraus die Höhe des vollen Kegelstumpfes.

Answer 2

Die Höhe des leeren oberen Kegelteils berechne ich mit

\( \frac{1}{3} \pi\left(\frac{h}{12} \times 5\right)^{2} h=50 \pi \)

als 9,5244.

Dies muss von 12 cm abgezogen werden.

Answer 3

zu c.)
hier eine Skizze

großer Kegel

V = (d/2)^2 * pi * 1/3 * h
V = (10/2)^2 * pi * 1/3 * 12

Der kleine Kegel in der Spitze des großen Kegels ist eine
Verkleinerung des großen Kegels.
Beide Strecken werden gleich verkleinert.
k : Verkleinerungsfaktor
d(neu) = 10 * k
h(neu) = 12 * k

kleiner Kegel
V = (d(neu)/2)^2 * pi * 1/3 * h(neu)
V = ( (d*k)/2)^2 * pi * 1/3 *   ( h * k )
V = ( (10*k)/2)^2 * pi * 1/3 *  ( 12 * k )

Der neue Kegel soll ein bestimmtes Volumen haben
( (10*k)/2)^2 * pi * 1/3 *  ( 12 * k ) = 157

1 Gleichung mit 1 Unbekannten

k = 0.7936

Bei Bedarf nachfragen.