Extremwert und Optimierungsaufgabe: Zylinder in der Kugel

Question

Aufgabe:

Zylinder in der Kugel

Bestimmen Sie das maximale Volumen eines Zylinders, welcher in eine Kugel mit dem Radius 18 cm einbeschrieben werden soll. Wie lauten dann die Außenmaße des Zylinders?

Answer 1

Zu 1.

das Volumen des Zylinders berechnet sich zu $$ V = r^2 \pi h  $$ Da der Zylinder in der Kugel mit radius \( R = 18 \) sein soll, gilt, $$ R^2 = r^2 +\left( \frac{h}{2} \right)^2 $$ also berechnet sich das Volumen des Zylinders zu $$  V(h) = \left[ R^2 - \left( \frac{h}{2} \right)^2  \right] \pi h $$ Die erste Ableitung von \( V(h) \) Null setzten und nach \( h \) auflösen, ergibt $$ h = \pm \frac{2}{3} \sqrt{3} R $$ Die negative Lösung entfällt aus einsichtigem Grund.